2022　関西学院大　理系共通テスト併用2月5日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$から$1000$までの整数のうちで，$4$でも$7$でも割り切れるものは$\text{ア}$個あり，$4$または$7$で割り切れるものは$\text{イ}$個ある．$4$で割り切れるものすべての和は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$y={({\log }_{2}x)}^3-3{\log }_{2}x$は$x=\text{エ}$のとき極大値$\text{オ}$をとる．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\cos 3x-2\cos 2x=0$を満たす$\cos x$の値は$2$つある．$1$つは有理数で$\text{カ}$であり，もう$1$つは無理数で$\text{キ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　$4x^2+13xy+10y^2$を因数分解すると$\text{ク}$となる．また，$4x^2+13xy+10y^2+18x+27y+18$を因数分解すると$\text{ケ}$となる．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(5)　$y=e^{x^2}$について${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}=\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を．解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$m$は$2$以上の整数で$n$は$4$以上の整数とする．$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は正の整数とする．$x+y=m$を満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の個数を$a_m$とし，$x+y+2z=n$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組$(x,y,z)$の個数を$b_n$とする．例えば$x+y=3$を満たす$x\text{，}$$y$の組は$(x,y)=(1,2)\text{，}$$(2,1)$の$2$個ある（順序を区別する）から$a_3=2$である．$a_m=\text{ア}$である．$z$の値で場合分けして考えると$b_5=2\text{，}$$b_6=\text{イ}\text{，}$$b_7=\text{ウ}$がわかる．$k$が$2$以上の整数のとき，$x+y+2z=2k$において$z$がとりうる値の範囲は$1\leqq z\leqq \text{エ}$であり，$b_{2k}$を$k$の式で表すと$b_{2k}=\text{オ}$である．また，$b_{2k+\mathrm{t}}$を$k$の式で表すと$b_{2k+1}=\text{カ}$である．

　$n$が$4$以上の偶数のとき，$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=\text{キ}$である．また，$n$が$5$以上の奇数のとき，$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=\text{ク}$である．

　$n$が$4$以上の偶数のとき，$x+y+2z\leqq n$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組$(x,y,z)$の個数$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=\text{ケ}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{c_n}{n^2}}=\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$a$は正の定数とする．$f(x)=\sqrt{x}-a\log x$とおく．その導関数は$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\text{ア}}{2x}}$であり，$f(x)$は$x=\text{イ}$において極小値$\text{ウ}$をとる．極小値が$0$となるような$a$の値は$a=\text{エ}$である．$2$曲線$y=\sqrt{x}\text{，}$$y=\text{エ}\log x$と$x$軸で囲まれる部分を$D$とする．$D$の面積は$\text{オ}$である．${(\log x)}^2$の不定積分は

${\displaystyle \int }{(\log x)}^2\mathit{dx}=x{(\log x)}^2+\text{カ}+C$$\text{（}C$は積分定数）

であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\text{キ}$である．

　$b$は正の定数とする．$y=b\log x$を$x$について解けば$x=\text{ク}$となる．$g(y)=\text{ク}$とおくとき，

${\displaystyle \int }{\{g(y)\}}^2\mathit{dy}=\text{ケ}+C^{\prime }$$\text{（}{C}^{\prime }$は積分定数）

である．ゆえに$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\text{コ}$である．

【４】　$xy$平面において，円$C\text{：}{x}^2+y^2+ax+by+c=0$は$3$点$(0,3)\text{，}$$(7,4)\text{，}$$(7,-4)$を通る．また，点$(-4,0)$を通り，傾きが$m$の直線$l$は$C$と異なる$2$点で交わるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．また，円$C$の中心と半径を求めよ．

(2)　$m$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　直線$l$と円$C$の$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}$とする．$m$が(2)の範囲で変化するとき，$\mathrm{M}$の$x$座標がとりうる値の範囲を求めよ．また，$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．