2022　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施

(1)　面積が$2\sqrt{2}$である鋭角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=2$である．このとき，$\sin A=\text{ア}\text{，}$$\mathrm{BC}=\text{イ}$である．また，点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線と対辺の交点をそれぞれ$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{K}$とすると，$\mathrm{AH}=\text{ウ}$であり，$\mathrm{▵AHK}$の外接円の半径は$\text{エ}$である．ただし，$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$はすべて数値である．

(2)　箱の中に赤色のカードが$4$枚，黄色のカードが$3$枚，青色のカードが$3$枚，合計$10$枚ある．赤色のカードにはそれぞれ$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の数字が記されており，黄色のカードと青色のカードにはそれぞれ$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字が記されている．この箱の中から同時に$3$枚のカードを取り出す．

　取り出した$3$枚のカードがすべて異なる色である確率は$\text{オ}\text{，}$取り出した$3$枚のカードがすべて異なる数字である確率は$\text{カ}$である．また，取り出した$3$枚のカードがすべて異なる色であったとき，取り出した$3$枚のカードがすべて異なる数字である条件付き確率は$\text{キ}$である．

　ただし，$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$はすべて既約分数で答えよ．

(1)　点$\mathrm{O}$を原点とする感標平面上に曲線$C\text{：}y=x^2$と点$\mathrm{A}$$(0,3)$がある．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が，$3$つの条件

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$は$C$上にある．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は一直線上にあり，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間にある．

(ⅲ)　$\mathrm{AQ}=2\mathrm{PA}$

を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$y=\text{ア}$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になるとき，$\mathrm{PQ}=\text{イ}$であり，このとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積は$\text{ウ}$である．

(2)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$について，次の条件(＊)が成り立つとする．

(＊)　自然数$n$に対して，整式$x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}$を$x+a_n$で割ると，商は$x+3\text{，}$余りは$a_n+b_n$である．

$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$a_{n+1}=\text{エ}$であるから，$a_1=5$のとき$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=\text{オ}$である．$a_n=\text{オ}$のとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて装すと$b_{n+1}=\text{カ}$となり，さらに$b_1=15$のとき$b_n$を$n$を用いて表すと$b_n=\text{キ}$となる．

$f(x)=3x^2+{\displaystyle {\int }_0^2}(x+t)f^{\prime }(t)\mathit{dt}$

${\displaystyle {\int }_3^x}g(t)\mathit{dt}={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+(a+2)x^2+ax-3a+9$

が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p={\displaystyle {\int }_0^2}{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}\text{，}$$q={\displaystyle {\int }_0^2}t{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$とおくとき，$p\text{，}$$q$の値を求めよ．また，関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$a$の値を求めよ．また，関数$g(x)$を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．