2022　福岡大学　系統別日程理,工,医(医学科)学系統2月2日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　 実数$\alpha$ が${\alpha }^2-3\alpha +1=0$ をみたすとき，${\alpha }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}=\text{(1)}$ であり，${\alpha }^5+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^5}}=\text{(2)}$ である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}$の$4$人を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$つの部屋に入れる．このとき，空き部屋がちょうど$1$つになる入れ方は$\text{(3)}$通りで，空き部屋がない人れ方は$\text{(4)}$通りである．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{n^3+2n^2}-\sqrt{n^3+1}}{\sqrt{3n+1}}}$の値は$\text{(5)}$である．

　また，$0<x<1$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(x^n+x^{2n})$の和が$3$となる$x$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$3$点を$\mathrm{A}$$(4,4,-6)\text{，}$$\mathrm{B}$$(7,1,-3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,4,-2)$とする．点$\mathrm{O}$から$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線に垂線$\mathrm{OP}$を下ろす．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\text{(1)}$である．また，点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に垂線$\mathrm{OQ}$を下ろす．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　第$n$項が$a_n={\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$である数列$\{a_n\}$について，$a_{10}$の値を求めると$a_{10}=\text{(3)}$であり，初項$a_1$から第$10$項$a_{10}$までの和は$\text{(4)}$である．

(編注)　 原典では${\displaystyle \frac{Y}{3\cdot 4\cdot 5}}$とあるが，答えは${\displaystyle \frac{65}{164}}$と${\displaystyle \frac{55}{24}}$で$Y$がないので訂正した．

【３】　関数$f(x)=(-x^2+3)e^x$$\text{（}x\geqq -4\text{）}$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$人でじゃんけんを$1$人だけが勝ち残るまで続ける．あいこの場合，じゃんけんを行った全員が勝ち残るとする．$3$回目のじゃんけんで$1$人だけ勝ち残る確率は$\text{(5)}$である．また，$3$回目のじゃんけんで$1$人だけ勝ち残ったとき，$1$回目のじゃんけんで$3$人が勝ち残っていた確率は$\text{(6)}$である．ただし，$3$人とも，どの手を出すかは同様に確からしいものとする．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　楕円$C\text{：}4x^2+y^2=4$と直線$l\text{：}2x+\sqrt{3}y+2\sqrt{3}=0$は$2$点$\mathrm{A}$$(0,-2)$と$\mathrm{B}$で交わるとき，点$\mathrm{B}$の座標は$\text{(1)}$である．また，楕円$C$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，点$\mathrm{P}$と直線$l$との距離が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　実数$x\text{，}$$y$が不等式${\log }_y(1-x^2+y)\geqq 2$をみたすとき，$y$の取り得る値の範囲は$\text{(3)}$であり，$x$の取り得る値の範囲は$\text{(4)}$である．

【３】　$a$を正の定数とし，媒介変数$t$によって

$x=e^{-2}-e^t\text{，}$$y=-2t+e^{2at}$

で表されている曲線$C$が，$x$軸と接しているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$x$軸，$y$軸および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．