2022　福岡大学　前期文系2月3日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-2ax+9a-18=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲は$\text{(1)}$である．

　また，$k$を正の定数とする．次の$2$つの不等式

$|x-3|<2$$\cdots \text{①}$

$\left|x\right|<k$$\cdots \text{②}$

について，$\text{①}$をみたす$k$の範囲が$\text{②}$をみたす$x$の範囲に含まれるとき，$k$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$t=\cos \theta -\sin \theta$とするとき，$t$のとりうる値の範囲は$\text{(3)}$であり，また，このとき，関数$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{2}}-\sin \theta +\cos \theta +1$のとりうる値の範囲は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$以上$n$以下の自然数で，$n$と互いに素なものの個数を$f(n)$で表す．例えば，$f(6)=2\text{，}$$f(7)=6$となる．このとき，$f(12)=\text{(5)}$であり，素数$p$に対して$f(p^2)=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　白玉$4$個，青玉$6$個が入っている袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，$3$個とも同じ色である確率は$\text{(1)}$であり，また，白玉が$2$個で，青玉が$1$個である確率は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　円$x^2+y^2=1$と直線$2kx-y-k+1=0$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わる．このとき，定数$k$のとりうる値の範囲は$\text{(3)}$であり，また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\sqrt{3}$のとき，$k$の値を求めると，$k=\text{(4)}$である．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y={(x-1)}^2\text{，}$$C_2\text{：}y=-{(x-3)}^2+8$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とし，定数$k$は$a<k<b$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線$x=k$と$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最大となる$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の$k$の値に対して，$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた図形を直線$x=k$で$2$つの部分に分ける．これらのうち，$x\geqq k$の領域にある部分の面積を求めよ．