2022　福岡大学　前期理,薬学部2月3日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$辺の長さが$4\text{，}$$5\text{，}$$6$である三角形について，$3$つの内角のうち最も大きな内角の大きさを$\theta$とするとき，$\sin \theta =\text{(1)}$である．

　また，この三角形の内接円の半径の長さは$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において点$\mathrm{C}$を$\mathrm{C}$$(2,2\sqrt{3})$とする．点$\mathrm{P}$は，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|=2\sqrt{3}$をみたし，ベクトル$\overrightarrow{a}=(0.-1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,0)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{a}=-3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{b}<0$をみたす．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\text{(3)}$であり，$\mathrm{▵OCP}$の面積は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　関数$y=9^x+9^{-x}-2(3^x+3^{-x})$について，$X=3^x+3^{-x}$とおくとき，$y$を$X$を用いて表すと$y=\text{(5)}$であり，$y$の最小値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$5$個の値$2\text{，}$$3\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$10$からなるデータの平均値が$5$であるとき，$b$を$a$の式で表すと$b=\text{(1)}$であり，このデータの分散の最小値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$f(x)=x^2-2$とする．方程式$f(x)=x$の解は$x=\text{(3)}$であり，方程式$f(f(x))=x$の解は$x=\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1-\sin x}{{(1+\sin x)}^2}}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$t={\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}}$とおくことにより，定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とするとき，関数$f(x)=x^3-3(a-1)x^2$$+3a(a-2)x$$-a^3$$-2a^2$$+3a$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$x$の$3$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつとき，正の定数$a$の値の範囲を求めよ．