2022　福岡大学　前期理学部2月4日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{1}{x^2}}{(2+x^2)}^{10}$の展開式における定数項の値は$\text{(1)}$であり，${\displaystyle \frac{1}{x^2}}{(2+x^2)}^{10}(2+x)$の展開式における$x^{15}$の項の係数は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CA}=b$とし，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表す．等式$\sin A=\cos B\sin C$が成り立っているとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{(3)}$であり，$b=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　実数$x\text{，}$$y$が方程式${\log }_3(3-2x)-2{\log }_9(y+26)=-2$をみたすとき，$y$を$x$の式で表すと$y=\text{(5)}$である．また，連立方程式

$\{\begin{array}{l}{\log }_3(3-2x)-2{\log }_9(y+26)=-2\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^y-3^{9x}={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$

の解を${\log }_{3}2$を用いて表すと$(x,y)=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\text{(1)}$である．また，$\mathrm{OS}:\mathrm{SA}=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$は，数直線上の原点$\mathrm{O}$から出発し，さいころの出る目が$2$以下ならば$+2$だけ，$3$以上ならば$-1$だけ動く．さいころを$3$回投げて，$\mathrm{P}$の座標が正となる確率は$\text{(3)}$である．また，さいころを$6$回投げて，$\mathrm{P}$がちょうど原点にきたとき，その$3$回目で$\mathrm{P}$の座標が正であった確率は$\text{(4)}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y=2x-1+2{\cos }^{2}x$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$の変曲点の座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$の変曲点における接線，$y$軸および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　直線$l_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$と放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$について，放物線$C$と直線$l_1$の共有点のうち第$3$象限にあるものを$\mathrm{A}$とする．また，直線$l_1$に平行で，放物線$C$に接する直線を$l_2$とし，放物線$C$と直線$l_2$のとの共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$l_1$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$2$つの線分$\mathrm{AQ}\text{．}$$\mathrm{PQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．