2022　福岡大学　前期工学部2月5日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$k$を定数とし，$x$の$2$次方程式$x^2-kx-2(k+1)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．このとき，$k$の値の範囲は$\text{(1)}$である．また，${\alpha }^2+{\beta }^2=16$であるとき，$k$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$y=2\sin \theta -\cos \theta$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とするとき，$M-m=\text{(3)}$である．また，$\theta$の方程式$2\sin \theta -\cos \theta =k$が$2$つの異なる解をもつとき，定数$k$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\sqrt{840n}$が整数となる自然数$n$のうち，最小のものは$\text{(5)}$である．

　また，$7$で割ると$2$余り，$9$で割ると$3$余る$3$桁の自然数のうち，最小のものは$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　等差数列$\{a_n\}$は$a_1+a_4+a_7+a_{10}=116\text{，}$$a_2+a_5+a_8+a_{11}=100$をみたすとする．このとき，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\text{(1)}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$の最大値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$i$を虚数単位とし，$\alpha =5+\sqrt{3}i$とする．複素数平面上において，点$\mathrm{A}(\alpha )$を原点を中心として角${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{B}(\beta )$とする．このとき，$\beta =\text{(3)}$である．また，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$を中心として角$\theta$だけ回転した点が$\mathrm{C}(6+4\sqrt{3}i)$であるとき，$\theta =\text{(4)}$である．ただし，$-\pi \leqq \theta \leqq \pi$とする．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$x>0$の範囲で，曲線$C$の変曲点の座標を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた変曲点と原点を通る直線を$l$とする．曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．