2022　福岡大学　前期理系2月11日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$つの直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$l_3$を$l_1\text{：}x+2y-7=0\text{，}$$l_2\text{：}2x+y-8=0\text{，}$$l_3\text{：}x+y=0$とする．このとき，直線$l_1$と$l_2$の交点と直線$l_3$の距離は$\text{(1)}$であり，$3$つの直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$l_3$で囲まれた三角形の面積は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　方程式${\log }_{\frac{1}{3}}(x-3)+{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)=-1+{\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)$の解は$x=\text{(3)}$である．また，不等式${\log }_{\frac{1}{3}}(x-3)+{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)$$>-1+{\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　座標空間の$4$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2t,t,2t)$が同一平面上にある．このとき，$t=\text{(5)}$である．また，$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る直線と$xy$平面との交点の座標は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$4$個の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の平均値を$m\text{，}$分散を$s^2$とする．これに$5$個目の実数$x$が加わると，平均値は$m+3$で，分散は同じ$s^2$であった．このとき$x$を$m$の式で表すと$x=\text{(1)}$であり，$s^2$の値を求めると$s^2=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$の袋に赤玉$3$個，白玉$2$個が入っており，$\mathrm{B}$の袋に赤玉$1$個，白玉$4$個が入っている．$\mathrm{A}$の袋から$3$個の玉を取り出し$\mathrm{B}$の袋に入れ，次に$\mathrm{B}$の袋から$1$個の玉を取り出すことを行う．このとき，$\mathrm{B}$の袋から取り出した$1$個の玉が赤玉である確率は$\text{(3)}$である．また，$\mathrm{B}$の袋から取り出した$1$個の玉が白玉であるとき，先に$\mathrm{A}$の袋から取り出した$3$個の玉が，赤玉$2$個と白玉$1$個である確率は$\text{(4)}$である．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=2\cos 2x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を$x$軸方向に$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の図形のうち，$y\geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　$m$を正の定数とする．放物線$C\text{：}y=x(x-1)$について，放物線$C$と直線$y=-m(x-1)$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，放物線$C\text{，}$直線$x=-m$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$S_1$と$S_2$を$m$の式で表せ．

(ⅰ)　$S_1-S_{\mathrm{}}$の最大値を求めよ．また，そのときの$m$の値を求めよ．