2022　福岡大学　推薦理,工,薬学部

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=\sin \theta +\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$の最小値は$\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$t>0$とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$\mathrm{A}$$(2,t)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,3t)$とし，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる$t$の値は$t=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n<0.0003$をみたす最小の自然数$n$は$n=\text{(3)}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$a\text{，}$$b$を自然数とする．$a$を$7$で割ると$5$余り，$b$を$7$で割ると$4$余る．このとき，$2a^{2}b$を$7$で割った余りは$\text{(4)}$である．

【２】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　曲線$C$の点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の接線，直線$x=2$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数とする．曲線$C\text{：}y=x^3+3x^2-x+1$と直線$l\text{：}y=px+q$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$p=2$とする．曲線$C$と直線$l$が$2$個以上の共有点をもつときの$q$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　どのような$q$の値に対しても，曲線$C$と直線$l$の共有点が$1$個となる$p$の値の範囲を求めよ．