2023　京都大学　前期

【１】　次の各問に答えよ．

問1　定積分${\displaystyle {\int }_1^4}\sqrt{x}\log (x^2)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　整式$x^{2023}-1$を整式$x^4+x^3+x^2+x+1$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　空間内の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一平面上にないとする．点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を次のように定める．点$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たし，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分し，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$の中点である．さらに，直線$\mathrm{OD}$上の点$\mathrm{R}$を，直線$\mathrm{QR}$と直線$\mathrm{PC}$が交点を持つように定める．このとき，線分$\mathrm{OR}$の長さと線分$\mathrm{RD}$の長さの比$\mathrm{OR}:\mathrm{RD}$を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．$1$個のさいころを$n$回投げ，出た目を順に$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$とし，$n$個の数の積$X_1{X}_2\cdots X_n$を$Y$とする．

(1)　$Y$が$5$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　$Y$が$15$で割り切れる確率を求めよ．

【４】　次の関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$f(x)=e^{-x^2}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+1$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

　ただし，$e$は自然対数の底であり，その値は$e=2.71\cdots$である．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は次の$3$つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている．

(a)　点$\mathrm{P}$は$x$軸上にある．

(b)　点$\mathrm{Q}$は$yz$平面上にある．

(c)　線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和は$1$である．

　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる立体の体積を求めよ．

【６】　$p$を$3$以上の素数とする．また，$\theta$を実数とする．

(1)　$\cos 3\theta$と$\cos 4\theta$を$\cos \theta$の式として表せ．

(2)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{p}}$のとき，$\theta ={\displaystyle \frac{m}{n}}\cdot \pi$となるような正の整数$m\text{，}$$n$が存在するか否かを理由を付けて判定せよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$n$を自然数とする．$1$個のさいころを$n$回投げるとき，出た目の積が$5$で割り切れる確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　次の式の分母を有理化し，分母に$3$乗根の記号が含まれない式として表せ．

${\displaystyle \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}}$

【３】(1)　$\cos 2\theta$と$\cos 3\theta$を$\cos \theta$の式として表せ．

(2)　半径$1$の円に内接する正五角形の一辺の長さが$1.15$より大きいか否かを理由を付けて判定せよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は次の条件を満たしている．

$a_1=3\text{，}$$a_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}+(n-1)\cdot 2^n$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$である．このとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　整式$f(x)$が恒等式

$f(x)+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(x-y)}^{2}f(y)\mathit{dy}=2x^2+x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$

を満たすとき，$f(x)$を求めよ．