2023　京都大学　特色入試総合人間学部

【１】　任意の三角形$\mathrm{ABC}$に対して次の主張(＊)が成り立つことを証明せよ．

(＊)　辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を適当にとると三角形$\mathrm{PQR}$は正三角形となる．ただし$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$はいずれも$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とは異なる，とする．

【２】　平面上に間隔$1$で平行線が無限に並べられているとする．そのうちの一本を$l$とし，その上に一点$\mathrm{O}$をとる．動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$$\text{（}r>1\text{）}$の円周上を等速円運動で一周する．この間に$l$以外の平行線と線分$\mathrm{OP}$との共有点の個数は変化するが，そのうち最も長い総時間でとられる個数を求めよ．