2023　京都大学　特色入試理学部

【１】　平面内の鋭角三角形$\mathrm{▵ABC}$を考える．$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して，

直線$\mathrm{BC}$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{D}\text{，}$

直線$\mathrm{CA}$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{E}\text{，}$

直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{F}$

とする．$6$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が同一円周上にあるような$\mathrm{P}$は$\mathrm{ABC}$の内部にいくつあるか求めよ．

【２】　$2$つの整数$m$と$n$が$0<m<n$を満たすとする．また，関数$H(x)$を

$H(x)=-x\log x$$-(1-x)\log (1-x)$$\text{（}0<x<1\text{）}$

と定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，$e$を自然対数の底とする．以下の設問に答えよ．

(1)　${}_{n}C_m\leqq e^{nH\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}$が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq k\leqq n$を満たす任意の整数$k$に対して

${}_{n}C_k{\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^k{(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^{n-k}$$\leqq {}_{n}C_m{\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^m{(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^{n-m}$

が成り立つことを示せ．

(3)　${}_{n}C_m\geqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}{e}^{nH\left(\frac{m}{n}\right)}$が成り立つことを示せ．

【３】　複素数の数列$\{z_n\}$に対する次の$2$つの条件を考える．

(ⅰ)　すべての自然数$n$に対して，$|z_n-z_{n+1}|=2^n$が成り立つ．

(ⅱ)　すべての自然数$n$に対して，

${\displaystyle \frac{(z_n-z_{n+1})(z_{n+2}-z_{n+3})}{(z_{n+1}-z_{n+2})(z_{n+3}-z_n)}}$

は実数である．

複素数の数列$\{z_n\}$で(ⅰ)と(ⅱ)をともに満たすものをすべて考えたとき，

${\displaystyle \frac{z_{2022}-z_{2023}}{z_{2023}-z_{2024}}}$

がとり得る値をすべて求めよ．

【４】　$p$を$3$以上の素数とし，$a$を整数とする．このとき，$p^2$以上の整数$n$であって

${}_{n}C_{p^2}\equiv a(\mathrm{mod}{p}^3)$

を満たすものが存在することを示せ．