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2023-15113-0201
2023 関西学院大学 理工学部全学日程
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 整式 P⁡ (x) =x4+ 11⁢x2 -4⁢x +32 が P⁡ (x) =( x2+a )2 -(x +b) 2 と表せるような定数 a , b の値は a = ア , b= イ であり, P⁡( x) を実数の範囲で因数分解すると P⁡ (x) = ウ となる.
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(2) 方程式 log2 ⁡(x+ 4)-log 4⁡( x+7)= 1 の解は x = エ であり,不等式 log 19 ⁡(4 -x) > 12 を満たす x の値の範囲は オ である.また,関数 y =2⁢ (log2 ⁡x )2 +log12 ⁡x 2+5 の 14≦ x≦8 における最小値は カ である.
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(3) 1 から 2023 までの数が 1 つずつ書かれた 2023 個の玉が入った袋から 1 個の玉を取り出す.取り出した玉に書かれた数が 7 で割り切れる確率は キ , 7 と 17 のいずれでも割り切れる確率は ク , 7 または 17 のいずれか一方で割り切れてもう片方では割り切れない確率は ケ であり, 2023 と互いに素である確率は コ である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
x⁣y 平面において,直線 y =- 43 ⁢x を l とし,円 x 2+y 2-p⁢ x-y+q =0 ( p, q は定数, p>0 ) を C とする.このとき,円 C の中心から y 軸までの距離を p を用いて表すと ア であり,円 C の中心から直線 l までの距離を p を用いて表すと イ である.したがって,円 C が y 軸と直線 l のどちらにも接しているとき, p , q の値は p = ウ , q= エ であり,円 C の半径は オ である.
次に, p= ウ , q= エ とし, y 軸上の点 A (0, 132 ) , 原点 O , 直線 l 上の点 B の 3 点を頂点とする ▵AOB の内接円が円 C であるとする.このとき直線 AB の方程式は y = カ であり,直線 AB と円 C の接点の座標は キ であり,点 B の座標は ク である.また, ▵AOB の面積は ケ であり, ▵AOB の外接円の半径は コ である.
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【3】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
関数 f ⁡(x )=e -2⁢x ⁢sin⁡ x, g⁡( x)= e-2⁢ x⁢cos ⁡x を考える.
(1) f′⁡ (x) =e-2 ⁢x⁢ ア である.また, {a ⁢f⁡( x)+ b⁢g⁡ (x) }′ =f⁡( x) が成り立つような定数 a , b の値は a = イ , b= ウ である.
(2) Sn= ∫ (n-1 )⁢π n⁢π | f⁡( x) |⁢ dx ( n≧1 ) とおく.このとき, S1 = エ であり, Sn を n の式で表すと S n= オ ⁢( 1+e 2⁢π ) である.また, ∑ n=1 ∞S n= 1+e2 ⁢π カ である.
(3) ∫ {f ⁡(x )} 2⁢dx =r⁢e -4⁢x +s⁢ f⁡( 2⁢x) +t⁢g⁡ (2⁢x )+C ( C は積分定数)が成り立つような定数 r , s , t の値は r = キ , s= ク , t= ケ である.
(4) x 軸と曲線 y =f⁡( x) ( 0≦x≦ π ) で囲まれる部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積は コ である.
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【4】 複素数平面上に点 z 1 , z2 , ⋯ , zn , ⋯ がある. z1= 0 である.また,
zn+ 1= 1 +i2 ⁢z n+1 ( n=1 ,2 ,⋯ )
が成り立っている.複素数 α は α = 1+i2 ⁢α +1 を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) z3 および α の値を求めよ.また, α20 の値を求めよ.
(2) | z1- z2 |+ |z2 −z3 |+⋯ = ∑n =1∞ | zn- zn+ 1| の値を求めよ.
(3) an= |zn -α| ( n=1 , 2 ,⋯ ) とおくとき,数列 { an } が満たす漸化式を導き, {a n} の一般項を求めよ.
(4) 複素数 zn+ 1-α zn -α の偏角 arg ⁡ zn+ 1-α zn -α を θ ( 0<θ< 2⁢π ) とするとき, θ を求めよ.また, 3 点 α , zn , zn+1 を頂点とする三角形の面積を S n ( n=1 , 2 ,⋯ ) とする.数列 { Sn } の一般項を求めよ.