2023　関西学院大　理系学部全学日程2月2日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　数字$1\text{，}$$2$とアルファベット$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}\text{，}$$\mathrm{d}\text{，}$$\mathrm{e}$の$7$文字を使って順列を作る．数字が隣り合う順列は$\text{ア}$通り，数字の間にちょうど$4$文字並ぶ順列は$\text{イ}$通り，両端ともアルファベットである順列は$\text{ウ}$通り，少なくとも一方の端が数字である順列は$\text{エ}$通りある．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(1,-3,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,-4,1)$をとる．${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2=\text{オ}$である．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$から等距離にある$x$軸上の点$\mathrm{P}$の座標は$\text{カ}$である．三角形$\mathrm{ABP}$の面積は$\text{キ}$である．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　複素数$\alpha ={\displaystyle \frac{4i}{1-i}}$を極形式$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )$$\text{（}r>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi \text{）}$で表すと，$\theta =\text{ク}$である．複素数${\alpha }^n$が実数になるような自然数$n$のうち，最も小さいものは$n=\text{ケ}$である．このとき，${\alpha }^n=\text{コ}$である．

【２】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$\{a_n\}$を初項$a_1=9\text{，}$公差$2$の等差数列とし，$\{b_n\}$を初項$b_1=2\text{，}$公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列とする．

(1)　$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{ア}$であり，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とすると$S_n=\text{イ}$である．また，

${\displaystyle \frac{1}{a_1{a}_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2{a}_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3{a}_4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{19}{a}_{20}}}=\text{ウ}\text{<mspace width=".5em"></mspace>}$

であり，

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{19}}+\sqrt{a_{20}}}}=\text{エ}$

である．

(2)　$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{オ}$である．$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とすると$T_n=\text{カ}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=\text{キ}$である．

(3)　$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(3k^2-a_k)$とすると，$U_n=\text{ク}$である．$U_1\text{，}$$U_2\text{，}$$U_3\text{，}\cdots \text{，}$$U_{60}$の中で，$7$で割り切れるものは$\text{ケ}$個あり，$4$で割り切れるものは$\text{コ}$個ある．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$とし，$s=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$とする．

(1)　$s=r\sin (\theta -\alpha )$$\text{（}r\text{，}$$\alpha$は$r>0\text{，}$$0\leqq \alpha <\pi$を満たす定数）の形に書き直すと，$s=\text{ア}$である．$s$のとりうる値の範囲は$\text{イ}$である．

(2)　$s^2$は$\theta =\text{ウ}$のとき最小値をとり，$\theta =\text{エ}$のとき最大値$\text{オ}$をとる．また，関数$f(s)={\displaystyle \frac{s^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{s^2}}$を$s>0$となる場合に限って考えると，$f(s)$は$\theta =\text{カ}$のとき最小値をとる．

(3)　$t=-\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta$とする．$t$を$s$の式で表すと$t=\text{キ}$であり，$g(t)=t+2\sqrt{3(t+2)}$は$\theta =\text{ク}$のとき最小値$\text{ケ}$をとる．

　$a$は実数の定数とするとき，$g(t)=a$を満たす$\theta$が$2$個存在するような$a$の値の範囲は$\text{コ}$である．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3x+a}{x+2}}$は$x=0$で極値をとるとする．曲線$C\text{：}y=f(x)$と直線$l\text{：}y=4$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を定めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$l$のすべての交点の$x$座標を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(5)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分を直線$l$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．