2023　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=7$とする．$\cos \mathrm{\angle ABC}=\text{ア}$である．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{CM}=\text{イ}$であり，$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の半径を$R$とすると，$R=\text{ウ}$である．また，この円と辺$\mathrm{AC}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない方の点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{AP}=\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)

(ⅰ)　$2$つの自然数$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$について，$a$と$b$の和は$312$で，最大公約数は$12$であるとする．このとき，$a\text{，}$$b$の組$(a,b)$は全部で$\text{オ}$組である．

(ⅱ)　$2$つの自然数$c\text{，}$$d$$\text{（}c<d\text{）}$について，最大公約数は$23$で，最小公倍数は$1380$であるとする．このとき，$c\text{，}$$d$の組$(c,d)$は全部で$\text{カ}$組であり，$c+d$の最小値は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　座標平面上の直線$y=x+5$を$l\text{，}$放物線$y=(x-3)(x-4)$を$C$とする．$l$と$C$の共有点の$x$座標を$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とするとき，$a=\text{ア}$である．また，連立不等式$\{\begin{array}{l}y\leqq x+5\\ y\geqq (x-3)(x-4)\end{array}$で表される領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{y-3}{x}}$の最大値は$\text{イ}$であり，最小値は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は，$a_1=-1\text{，}$$a_{n+1}=-a_n+2n^2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとする．

(ⅰ)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を定数とし，$f(n)=\alpha n^2+\beta n+\gamma$とおく．このとき，$a_{n+1}-f(n+1)$$=-\{a_n-f(n)\}$がすべての自然数$n$について成り立つように$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の値を定めると，$f(n)=\text{エ}$である．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$f(n)$について，$b_n=a_n-f(n)$とおく．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{オ}$である．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{カ}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=\text{キ}$である．

【３】　$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$について，

$f\{x\}=2x^2+{\displaystyle {\int }_1^x}g(t)\mathit{dt}$

$g(x)=2x+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}$

が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}$の値を求めよ．

(2)　関数$h(x)$を，$h(x)={\displaystyle {\int }_1^x}f(t)\mathit{dt}-g(x)+2$によって定める．

(ⅰ)　$h(x)$を$x$の式で表せ．

(ⅱ)　$h(x)$の極値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$h(x)$に対して，曲線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)+g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．