2023　関西学院大　文系共通テスト併用2月5日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さが$2$の正方形で，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{OD}$の長さは$\sqrt{6}$であるとする．

(ⅰ)　四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積は$\text{ア}\text{，}$四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球の半径は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　四角錐$\mathrm{OABCD}$に外接する球の中心を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\cos \mathrm{\angle AEB}$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に$10$枚のカードがあり，$1$枚のカードは両面とも赤，$3$枚は両面とも白，他の$6$枚のカードは片面は赤で片面は白である．この袋から$2$枚のカードを同時に取り出し，テーブルに置く．$2$枚のカードの上面がともに赤である事象を$A\text{，}$$2$枚のカードの下面がともに白である事象を$B$とする．

(ⅰ)　事象$A$が起こる確率は$\text{エ}$である．また，事象$B$が起こる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　事象$A$も$B$も起こらない確率は$\text{カ}$である．また，事象$A$が起こらなかったとき，事象$B$が起こる条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$p$を実数とし，$x$の$4$次方程式$x^4-2x^3+p{x}^2-4x+4=0\cdots \text{①}$を考える．$x=0$は$\text{①}$の解ではないので，$t=x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$とおくと，$\text{①}$は$t$の方程式$\text{ア}=0$と表される．

(ⅰ)　$p=5$のとき，$x$の方程式$\text{①}$は異なる$2$つの虚数解をもち，このうち虚部が正のものを$\beta$とすると，$\beta =\text{イ}$である．

(ⅱ)　$x$の方程式$\text{①}$が異なる$4$つの実数解をもつとき，$p$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$でも$3$でも割り切れない正の整数を小さいものから順に並べ，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$とする．

(ⅰ)　$a_3=\text{エ}\text{，}$$a_{12}=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$n$を正の整数とすると，$a_{2n}=\text{カ}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a_k}^2=\text{キ}$である．

【３】　$f(x)=x^3-2x^2+x$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極大値$M$を求めよ．

(2)　$a$を正の実数とする．$a\leqq x\leqq 2a$における関数$f(x)$の最大値が(1)で求めた$M$であるとき，$a$の取りうる値の範囲を求めよ．

(3)　$m$を実数とする．曲線$y=f(x)$と直線$y=mx$は$x\geqq 0$において異なる$3$点で交わるとし，原点以外の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき，${\displaystyle {\int }_0^{\beta }}\{f(x)-mx\}\mathit{dx}=0$となるような$m$の値を求めよ．

(4)　$m$は(3)で求めた値であるとする．このとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=mx$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．