2023　関西学院大　理系共通テスト併用2月5日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$は実数とする．$2$次方程式$x^2+px+2=0$は異なる$2$つの虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，$3$次方程式$x^3+q{x}^2+rx+s=0$は$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$-2$を解にもつとする．このとき，$s$の値は$s=\text{ア}$であり，$r$を$p$のみの式で表すと$r=\text{イ}$である．また，$\alpha$の実部が正の数で，虚部が${\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}$であるとき，$p=\text{ウ}$であり，$q=\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　連立不等式

$y\geqq x^2+2x\text{，}$$y\leqq x+2$

の表す領域を点$\mathrm{P}$$(x,y)$が動くとする．このとき，$x-2y$の最小値は$\text{オ}$であり，最大値は$\text{カ}$である．また，点$(-2,1)$を中心とし，点$\mathrm{P}$$(x,y)$を通る円の半径が最小になるのは，$(x,y)=\text{キ}$のときである．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${\displaystyle \frac{x^3+3x-1}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{a}{x^2+x+1}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{x^4-1}}$$=b({\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})$$+{\displaystyle \frac{c}{x^2+1}}$が成り立つような定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値は$a=\text{ク}\text{，}$$b=\text{ケ}\text{，}$$c=\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標平面に$\mathrm{A}$$(4,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(6,2)$がある．原点$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を$l$とし，直線$\mathrm{AB}$と$l$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，実数$s$と$t$に対して，点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

で定める．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標は$\text{ア}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$x$と$t$を用いて成分表示すると，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=(\text{イ},\text{ウ})$である．

(2)　$s$の値を固定し，$t$を$t\geqq 0$の範囲で動かす．

ⅰ)　$s<\text{エ}$ならば，${\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2$は$t=\text{オ}$のとき最小値$\text{カ}$をとる．

ⅱ)　$s\geqq \text{エ}$ならば，${\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2$は$t=\text{キ}$のとき最小値$\text{ク}$をとる．

(3)　$s<\text{エ}$を満たすような$s$の値を一つ選んで固定する．点$(4s,3s)$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に平行な直線を$m$とする．点$\mathrm{C}$を通り$m$に垂直な直線と直線$m$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は$\text{ケ}$である．また，三角形$\mathrm{OCH}$の面積は$\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　一つのさいころを$3$回投げ，出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　$a=b=c=1$となる確率は$\text{ア}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{a}{b}}=1$となる確率は$\text{イ}$であり，${\displaystyle \frac{a}{b}}>1$となる確率は$\text{ウ}$である．また，${\displaystyle \frac{b}{ac}}=1$となる確率は$\text{エ}$である．

(3)　$ac\leqq 2$となる確率は$\text{オ}\text{，}$$ac\leqq 4$となる確率は$\text{カ}\text{，}$$ac\leqq 6$となる確率は$\text{キ}\text{，}$$ac\leqq 9$となる確率は$\text{ク}$である．

(4)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が重解を持つ確率は$\text{ケ}\text{，}$実数解を持つ確率は$\text{コ}$である．

【４】　 $s$は定数とする．$x\geqq 1$において$3$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$を

$f(x)=x\log x\text{，}$$g(x)=s{x}^2\text{，}$$h(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$

とし，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$を$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$とする．次の問いに答えよ．必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }h(x)=0$であることを証明なしに用いてよい．

(1)　$h(x)$の導関数を求めよ．また，$x\geqq 1$で$h(x)$がとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$が異なる$2$つの共有点を持つような定数$s$の範囲を求めよ．また，これらの共有点の$x$座標が$n\text{，}$$n^2$となるとき，$n$と$s$の値を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x\log x\mathit{dx}$を求めよ．また，$a{x}^3{(\log x)}^2+b{x}^3\log x+c{x}^3$の導関数が$x^2{(\log x)}^2$となるような定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(4)　$s$は(2)の後半で求めた値をとるとする．$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$によって囲まれた部分を$D$とし，また，$C_1$と$x$軸と$x=e$に囲まれた部分を$E$とする．このとき，$D$の面積$S$と，$E$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．