2023　福岡大学　系統別日程理,工,医(医学科)学系統2月2日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2+2kx+4k-3=0$は$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．ただし，$\alpha <\beta$とする．このとき，$k$の値の範囲は$\text{(1)}$である．また，$\beta \leqq k$となるような$k$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$3$個のさいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を$1$回ずつ投げる．さいころ$\mathrm{A}$の出た目が$4$であり，かつ$3$個のさいころの出た目の最大値が$4$である確率は$\text{(3)}$である．$3$個のさいころの出た目の最大値が$4$であるときに，さいころ$\mathrm{A}$の出た目が$4$である確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$2$つの実数$a\text{，}$$b$に対して，等式$\underset{x\to 3}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-3}}=b$が成り立つとき，$a$の値は$\text{(5)}$であり，$b$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$2$直線$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\text{(1)}$である．また，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，三角形$\mathrm{OAE}$の面積は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$つの自然数$m\text{，}$$n$および$0<a<1$を満たす実数$a$に対して，等式${\log }_{3}135=m+{\displaystyle \frac{1}{n+a}}$が成り立つとき，$m$の値は$\text{(3)}$であり，$n$の値は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=-e^x(2x-1)$および座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　曲線$C$の変曲点の座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$上の点$(0,f(0))$における$C$の接線，$C$の変曲点を通り$y$軸に平行な直線および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{(9x^2+36x+34)}^n$が収束するような$x$の値の範囲は$\text{(5)}$であり，この無限級数の和が$2$のとき，$x$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$次方程式$8x^3-8x^2+1=0$の解は$x=\text{(1)}$である．また，不等式$({\log }_{x}2)|{\log }_2|x-1||$$+|{\log }_{x}8|-2\geqq 0$の解は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(1,3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-1,-3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,4,1)$が定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{D}$$(0,6,-3)$とする．このとき，$\alpha$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{E}$の座標は$\text{(3)}$である．ただし，$\mathrm{E}$が$\alpha$に関して$\mathrm{D}$と対称であるとは，直線$\mathrm{DE}$は$\alpha$に垂直であり，かつ線分$\mathrm{DE}$の中点は$\alpha$上にあることをいう．また，$\mathrm{F}$$(1,1,1)$とするとき，$\alpha$上の点$\mathrm{P}$で，$2$線分$\mathrm{DP}\text{，}$$\mathrm{FP}$の長さの和$\mathrm{DP}+\mathrm{FP}$を最小にする$\mathrm{P}$の座標は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=4{\tan }^{3}t-9{\tan }^{2}x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は$x=a$で極大であるとする．座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$の変曲点の座標を$(b,f(b))$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　実数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　座標平面上で，連立不等式$\{\begin{array}{l}f(x)\leqq y\leqq 0\\ a\leqq x\leqq b\end{array}$の表す領域の面積を求めよ．