2023　福岡大学　前期理,薬学部2月3日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　等式$x^3-5=a+b(x-1)$$+c(x-1)(x+1)$$+(x-1)(x-2)(x+1)$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値は$(a,b,c)=\text{(1)}$である．

　$x$の整式$f(x)=x^2+px+1$について，$f(x^2)$が$f(x)$で割り切れるとき，定数$p$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　関数$f(x)=\sin x-\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，$f(x)$の最大値は$\text{(3)}$であり，不等式$-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\leqq f(x)\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$の解は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　袋$\mathrm{A}$に赤玉$3$個と白玉$2$個が入っていて，袋$\mathrm{B}$に赤玉$1$個が入っている．硬貨を投げて表が出たときは，袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出し袋$\mathrm{B}$に入れる．硬貨を投げて裏が出て，かつ袋$\mathrm{B}$に少なくとも$1$個の玉があるときは，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出し袋$\mathrm{A}$に入れる．硬貨を投げて裏が出て，かつ袋$\mathrm{B}$に玉がないときは何もしない．硬貨を$2$回投げて袋$\mathrm{B}$に玉が$1$個だけあり，かつその玉の色が白である確率は$\text{(5)}$である．また，硬貨を$2$回投げて袋$\mathrm{B}$に玉が$1$個だけあるときに，その玉の色が白である確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3^{24}$は$\text{(1)}$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数である．また，$3^{24}$の最高位の数字は$\text{(2)}$である．必要ならば，$0.301<{\log }_{10}2<0.302\text{，}$$0.477<{\log }_{10}3<0.478$を用いよ．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{OF}$の長さは$\text{(3)}$である．また，三角形$\mathrm{OEF}$の面積は$\text{(4)}$である．

【３】　座標平面上の曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$および$2$直線$l_1\text{：}y=2x\text{，}$$l_2\text{：}y=x$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$と直線$l_1$との交点における$C$の接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C\text{，}$直線$l_2$および(ⅰ)で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．座標平面において，曲線$C_1\text{：}y=x^2-3x$上の点$(1,-2)$における$C_1$の接線$l$は曲線$C_2\text{：}y=4x^2+ax-1$に接するとする．$C_2$と$l$との接点の$x$座標を$p$とする．このとき次の問に答えよ．

(ⅰ)　接線$l$の方程式と$2$つの実数$a\text{，}$$p$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2$の$x\geqq p$の部分および直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．