2023　福岡大学　前期文系2月4日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$y=x^2-4kx-2x+3k$の最小値を定数$k$を用いて表すと，$\text{(1)}$である．また，すべての実数$x$に対して不等式$x^2-4kx-2x+3k$$>-3x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$が成立するとき，$k$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a>0$とし，$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=120\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=2a\text{，}$$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{1}{a}}$とする．このとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{(3)}$である．また，$\mathrm{\angle A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さがとりうる値の範囲は$0<\mathrm{AD}\leqq \text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$枚のコインを投げて，表が出たときには袋に$1$個の赤玉を入れ，裏が出たときには袋に$1$個の白玉を入れる．これを$4$回行って，袋に$4$個の玉を入れ，その後，この袋から玉を同時に$2$個取り出す．このとき，袋から$2$個の赤玉が取り出される確率は$\text{(5)}$である．また，袋から$2$個の赤玉が取り出されたときに，取り出される前に袋に入っていた赤玉が$3$個以上である確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$0\leqq \theta <2\pi$とする．不等式$2{\cos }^2\theta -3\sin \theta -3\geqq 0$が成立するとき，$\sin \theta$の最大値は$\text{(1)}$であり，$\theta$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$3$次方程式$a{x}^3+x^2-bx+6=0$が$1-i$を解にもつとき，実数の定数$a\text{，}$$b$の値を求めると，$(a,b)=\text{(3)}$であり，この方程式の実数解は$x=\text{(4)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【３】　$a>0$とする．平面上の点$\mathrm{A}$$(0,-a)$を通り，放物線$C\text{：}y=x^2$に接する$2$つの直線を$l_1\text{，}$$l_2$とする．$l_1$と$l_2$が互いに直交するとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C$と$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．