2023　福岡大学　前期工学部2月6日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$0<x<1$かつ$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=7$を満たす実数$x$に対して，$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値は$\text{(1)}$であり，$\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　座標平面において，方程式$9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$の表す楕円の長軸の長さは$\text{(3)}$であり，焦点の座標は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{A}$の$7$個の文字をすべて$1$列に並べてできる文字列のうち，$\mathrm{UU}$と$\mathrm{KK}$という遊びを共に含むものは全部で$\text{(5)}$個あり，同じ文字が隣り合わないものは全部で$\text{(6)}$個ある．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$n$を自然数とする．和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k-1)3^{k-1}$を求めると，$S_n=\text{(1)}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}}=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　座標平面において，円$C$は直線$l\text{：}y=2x$と$x$軸の両方に接し，$C$の中心$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，直線$y=x-1$上にあるとする．このとき，$\mathrm{P}$の座標は$\text{(3)}$であり，$l$に関して$\mathrm{P}$と対称な点の座標は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=e^{3x}-3e^{x+1}$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極小値とそれを与える$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　座標平面において，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．