2023　福岡大学　前期理系2月11日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=60\mathrm{°}$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さは$\text{(1)}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a$を負の実数，$b$を正の実数とし，等差数列$\{a_n\}$は$a_1=a\text{，}$$a_2=b\text{，}$$a_3=b^2\text{，}$$a_4=a^2$を満たすとする．このとき，$a\text{，}$$b$の値は$(a,b)=\text{(3)}$である．また，$\{a_n\}$の初項から第$10$項までの和は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$個の数$-1\text{，}$$0\text{，}$$1$から重複を許して$5$個選び$1$列に並べる．このとき，並べた数の和が$3$となる並べ方の総数は$\text{(5)}$である．また，並べた数の和が$3$未満となる並べ方の総数は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a$を実数，$n$を正の奇数とし，$x$の整式$f(x)=a+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}^k$を$x+1$で割った余りは$1$であるとする．このとき，$a$の値は$\text{(1)}$である．また，$f(x)$を$x^2-1$で割った余りを$n$を用いて表すと$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　関数$f(x)$を$f(x)={\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{2}x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$で定める．このとき，$f(x)$は$x=\text{(3)}$で最大となる．また，座標平面において，曲線$y=f(x)$と直線$y=k$との共有点が$2$個となるような$k$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x^2-x+1}}$は$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}$で最大値$2\sqrt{3}$をとるとする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　実数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(ⅰ)　座標平面において，曲線$y=f(x)$と直線$y=2x-1$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，関数$f(x)$は等式$f(x)=x^3+3a{x}^2$$+(6a+6)x$$+{\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　関数$f(x)$が$x=-2$で極小値をとるとき，$f(x)$の極大値とそれを与える$x$の値を求めよ．