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2023-16071-1401
2023 福岡大学 後期文系
易□ 並□ 難□
【1】 次の をうめよ.答は解答用紙の 該当 がいとう 欄に記入せよ.
(ⅰ) a= 3-2 3+ 2 のとき, a+ 1a の値は (1) であり, a3+ 1 a3 の値は (2) である.
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(ⅱ) m , n は正の整数で, m≦n をみたすとする. 1m+ 1n = 12 が成立するとき,正の整数 m , n を求めると, (m, n)= (3) である.
また, 4 7 を小数で表すとき,小数第 100 位の数は (4) である.
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(ⅲ) 数直線上を動く点 A が原点にある. 1 個のさいころを投げて, 1 , 2 , 3 , 4 の目が出たときには A は正の向きに 2 だけ進み, 5 , 6 が出たときには A は負の方向に 1 だけ進む.さいころを続けて 5 回投げたあとの点 A の座標を n とする.このとき n のとりうる値をすべてあげると, n= (5) である.また, n=4 となる確率は (6) である.
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【2】 次の をうめよ.答は解答用紙の 該当 がいとう 欄に記入せよ.
(ⅰ) 0≦x≦ π2 のとき,関数 y =sin⁡x ⁢cos⁡x +cos2 ⁡x の最大値は (1) である.また,関数 y =sin⁡x ⁢cos⁡x +cos2 ⁡x (0≦ x≦ π2 ) のグラフと直線 y =k の共有点の個数が 2 個であるとき,定数 k の値の範囲は (2) である.
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(ⅱ) 放物線 C :y=- x2+ a⁢x+ b と x 軸が 2 点で交わるとき,交点の x 座標を α , β とする.ただし, α<β である.また, C の頂点の y 座標を s とする.このとき, β-α は s を用いて (3) と表せ, C と x 軸で囲まれた図形の面積は s を用いて (4) と表せる.
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【3】 f⁡( x)= x3- x2- 3⁢x- 2 とする.曲線 C :y=f ⁡(x ) 上の点 P (-1 ,f⁡( -1) ) における C の接線を l とし,接線 l と曲線 C の共有点で, P と異なる点を Q (a, f⁡( a) ) とする.
また,不等式 - 1<t< a をみたす実数 t に対して,直線 x =t と接線 l の交点を R とし,直線 x =t と曲線 C との交点を S とする.このとき,次の問に答えよ.
(ⅰ) a の値を求めよ.
(ⅱ) 線分 RS の長さの最大値を求めよ.