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2024-10541-0101
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2024 京都大学 前期
理系
配点30点
文系【2】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 n 個の異なる色を用意する.立方体の各面にいずれかの色を塗る.各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする.辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を pn とする.次の問いに答えよ.
(1) p4 を求めよ.
(2) limn→ ∞pn を求めよ.
2024-10541-0102
【2】 |x| ≦2 を満たす複素数 x と, |y- (8+6 ⁢i)| =3 を満たす複素数 y に対して, z=x +y2 とする.このような複素数 z が複素数平面において動く領域を図示し,その面積を求めよ.
2024-10541-0103
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【3】 座標空間の 4 点 O , A , B , C は同一平面上にないとする.線分 OA の中点を P , 線分 AB の中点を Q とする.実数 x , y に対して,直線 OC 上の点 X と,直線 BC 上の点 Y を次のように定める.
OX→= x⁢OC→ , BY→= y⁢BC→
このとき,直線 QY と直線 PX がねじれの位置にあるための x , y に関する必要十分条件を求めよ.
2024-10541-0104
【4】 与えられた自然数 a0 に対して,自然数からなる数列 a0 , a1 , a2 ,⋯ を次のように定める.
an+1 ={ an 2 (a nが偶数のとき) 3⁢ an+12 (an が奇数のとき)
次の問いに答えよ.
(1) a0 , a1 , a2 , a3 がすべて奇数であるような最小の自然数 a0 を求めよ.
(2) a0 , a1 ,⋯ , a10 がすべて奇数であるような最小の自然数 a0 を求めよ.
2024-10541-0105
配点40点
【5】 a は a≧ 1 を満たす定数とする.座標平面上で,次の 4 つの不等式が表す領域を Da とする.
x≧0 , ex -e-x 2≦ y, y≦ ex+e -x2 , y≦a
(1) Da の面積 Sa を求めよ.
(2) lima→∞ Sa を求めよ.
2024-10541-0106
【6】 自然数 k に対して, ak= 2k とする. n を自然数とし, ak の整数部分が n 桁であるような k の個数を Nn とする.また, ak の整数部分が n 桁であり,その最高位の数字が 1 であるような k の個数を Ln とする.次を求めよ.
limn→ ∞ LnNn
ただし,例えば実数 2345.678 の整数部分 2345 は 4 桁で,最高位の数字は 2 である.
2024-10541-0107
文系
【1】 四面体 OABC が次を満たすとする.
OA=OB=OC =1, ∠COA=∠COB= ∠ACB, ∠AOB=90⁢ °
このとき,四面体 OABC の体積を求めよ.
2024-10541-0108
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理系【1】の類題
【2】 n 個の異なる色を用意する.立方体の各面にいずれかの色を塗る.各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする.辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を pn とする.次の問いに答えよ.
(1) p3 を求めよ.
(2) p4 を求めよ.
2024-10541-0109
【3】 a は正の定数とする.次の関数の最大値を求めよ.
f⁡(x )=| x2-( a⁢x+ 34⁢a 2)| +a⁢ x+34 a2 (- 1≦x≦1 )
2024-10541-0110
【4】 ある自然数を八進法,九進法,十進法でそれぞれ表したとき,桁数がすべて同じになった.このような自然数で最大のものを求めよ.ただし,必要なら次を用いてもよい.
0.3010<log10 ⁡2<0.3011 , 0.4771<log10 3<0.4772
2024-10541-0111
【5】 関数 y=x 2-4⁢x+ 5 のグラフの x>1 の部分を C とする.このとき,下の条件を満たすような正の実数 a , b について,座標平面の点 (a ,b) が動く領域の面積を求めよ.
「 C と直線 y=a⁢ x+b は二つの異なる共有点を持つ.」