1999　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内の(ア)から(ト)にあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，その数を解答用マークカードの指定された列にマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．

(1)　$a\text{，}b$を正の数とする．

$({\log }_{10}ax)({\log }_{10}bx)+1=0$

を満たす正の実数$x$があるとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}$の範囲は

${\displaystyle \frac{a}{b}}\geqq {10}^{\boxed{\text{(ア)}}}$または$0<{\displaystyle \frac{a}{b}}\leqq {10}^{-\boxed{\text{(イ)}}}$

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内の(ア)から(ト)にあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，その数を解答用マークカードの指定された列にマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を$x$についての$3$次方程式

$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

の解とし，

$T_n=a^n+b^n+c^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき

$ab+bc+ca={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ウ)}}}{\boxed{\text{(エ)}}}}{T_1}^{\boxed{\text{(オ)}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(カ)}}}{\boxed{\text{(キ)}}}}{T_2}^{\boxed{\text{(ク)}}}$

という関係が成り立つ．さらに

$T_1=3\text{，}{T}_2=5\text{，}{T}_3=7$

とすれば，$p\text{，}q\text{，}r$の値はそれぞれ

$p=-\boxed{\text{(ケ)}}\text{，}q=\boxed{\text{(コ)}}\text{，}r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(サ)}}}{\boxed{\text{(シ)}}}}$

と定まる．また，$T_4$の値は

$T_4=\boxed{\text{(ス)}}$

となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内の(ア)から(ト)にあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，その数を解答用マークカードの指定された列にマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．なお，(3)では(セ)(チ)は解答群Ⅰから，(ソ)(タ)(ツ)(テ)(ト)は解答群Ⅱからそれぞれ選べ．

(3)　$a\text{，}b$は$a>b>0$を満たす定数，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$を満たす変数のとき，関数

$f(\theta )=\sqrt{a{\cos }^2\theta +b{\sin }^2\theta }+\sqrt{a{\sin }^2\theta +b{\cos }^2\theta }$

の最大値は$\boxed{\text{(セ)}}$で，そのときの$\theta$の値は小さい順に並べれば$\theta =\boxed{\text{(ソ)}}\pi \text{，}\theta =\boxed{\text{(タ)}}\pi$である．また$f(\theta )$の最小値は$\boxed{\text{(チ)}}$で，そのときの$\theta$の値は小さい順に並べれば$\theta =\boxed{\text{(ツ)}}\pi \text{，}\theta =\boxed{\text{(テ)}}\pi \text{，}\theta =\boxed{\text{(ト)}}\pi$である．

解答群Ⅰ（(セ)(チ)用）

解答群Ⅱ（(ソ)(タ)(ツ)(テ)(ト)用）

【２】　$t$を実数とする．$3$点$\mathrm{A}(-1,-2)\text{，}\mathrm{B}(t-1,-3)\text{，}\mathrm{C}(1,t-2)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1(t)\text{，}$この三角形の外接円の面積を$S_2(t)\text{，}$内接円の面積を$S_3(t)$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{CAB}=\theta$としたとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S_2(2)$の値を求めよ．

(4)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2(t)}{S_1(t)}}$の値を求めよ．

(5)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_3(t)}{S_2(t)}}$の値を求めよ．

【３】　$0s<1$のとき，行列$A\text{，}B\text{，}C$をそれぞれ

$A=\left(\begin{array}{cc}3s+{\displaystyle \frac{1}{s}}& \sqrt{3}({\displaystyle \frac{1}{s}}-s)\\ \sqrt{3}({\displaystyle \frac{1}{s}}-s)& s+{\displaystyle \frac{3}{s}}\end{array}\right)\text{，}$

$B=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{3}\end{array}\right)\text{，}C=(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\end{array})$

とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$D=A-{\displaystyle \frac{1}{s(s+1)}}BC$を求めよ．

(3)　$F={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)D\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$としたとき，$F=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$になるという．$a\text{，}b$を求めよ．

(4)　$F+F^2+F^3+\cdots +F^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& 0\\ 0& q_n\end{array}\right)$としたとき，$p_n\text{，}{q}_n$をそれぞれ求めよ．

(5)　$f(s)=\underset{n\to \infty }{\lim }(p_n+q_n)$とおいたとき，$f(s)$の最小値とそのときの$s$の値を求めよ．