2000　東京理科大学　工学部(建築，電気工学科)MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　$0$あるいは$1$という値からなる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$に対して，収束する級数

${\displaystyle \frac{a_1}{2}}+{\displaystyle \frac{a_2}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}+\cdots$

の値を$r$とする．$a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$であれば，$r=\boxed{\text{ア}}$であり，$a_1=0\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_n=0\text{（}n=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$であれば，$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．$a_1=1$であれば，$r$のとりうる値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\leqq r\leqq 1$である．$a_{2m+1}=0\text{，}{a}_{2m+2}=1\text{（}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$であれば，等比級数の和を考えることで$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$が得られる．

　逆に$0\leqq r\leqq 1$となる数$r$をこのような級数に表現するには，$r\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$のとき，$a_1=1\text{，}$そうでなければ$a_1=0$として$a_1$を定め，$r_1=2r-a_1$を求める．$r_1$については

$r_1={\displaystyle \frac{a_2}{2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{2^{n-1}}}+\cdots$

という関係が成り立つので，$r_1\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$のとき，$a_2=1\text{，}$そうでなければ$a_2=0$として$a_2$を定め，$r_2=2r_1-a_2$を求める．以下，これを繰り返せばよい．$r={\displaystyle \frac{3}{5}}$のときは，このようにして，$a_1=\boxed{\text{ク}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{ケ}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{コ}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{サ}}\text{，}{r}_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$が得られる．これを繰り返すことで$a_{4m+1}=\boxed{\text{セ}}\text{，}{a}_{4m+2}=\boxed{\text{ソ}}\text{，}{a}_{4m+3}=\boxed{\text{タ}}\text{，}{a}_{4m+4}=\boxed{\text{チ}}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が得られる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　自然数$n$を含んだ$x$に関する$2$次方程式

$x^2-2x+5-4{\log }_{10}n=0$

の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．$\alpha \text{，}\beta$がともに正であるためには，$n$が$\boxed{\text{ア}\text{イ}}\leqq n\leqq \boxed{\text{ウ}\text{エ}}$でなけらばならない．$n$がこの範囲のとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$は$n=\boxed{\text{オ}\text{カ}}$で最小値$\boxed{\text{キ}}$となる．

（参考となる数値：${15}^4=50625\text{，}{16}^4=65536\text{，}{17}^4=83521\text{，}{18}^4=104976\text{，}{19}^4=130321$）

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　実数$x$を越えない最大の整数を記号$[x]$で表す．たとえば，$\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]=0\text{，}\left[{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]=1$である．これを用いて関数$f(x)$を次式で定義する．

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x([x]+\left[{\displaystyle \frac{1}{x}}\right]+[x]\left[{\displaystyle \frac{1}{x}}\right]+1)}}$

(a)　$1<x<2$のとき，関数$f(x)$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<f(x)<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(b)　$2<x<4$のとき，関数$f(x)$のとりうる値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\leqq f(x)<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

(c)　$1\leqq x$のとき，関数$f(x)$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ケ}}\leqq f(x)<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$と$\boxed{\text{ス}}<f(x)<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(d)　$0<x$のとき，関数$f(x)$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{タ}}\leqq f(x)<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$と$\boxed{\text{ト}}<f(x)<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x>0$で定義された関数$f(x)=x^{\sin x}$の導関数を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　積分${\displaystyle \int }{e}^{\sqrt[3]{x}}dx$を計算しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(3)　全体集合$\mathrm{X}$を$30$以下の自然数の集合とし，$\mathrm{X}$の部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をそれぞれ

$\mathrm{A}=\{x|x\text{は}3\text{の倍数}\}$

$\mathrm{B}=\{x|x\text{は}5\text{の倍数}\}$

とする．また，$\mathrm{X}$の部分集合$\mathrm{S}$に対して，$\mathrm{S}$の補集合を$\bar{\mathrm{S}}$と書くこととする．

(a)　$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$と$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$を，それぞれ要素を書き並べる方法で表しなさい．

(b)　$\bar{\mathrm{A}}\cap \bar{\mathrm{B}}$の要素の個数を求めなさい．

(c)　$\mathrm{C}$を$\mathrm{X}$の部分集合で，以下の$4$つの条件を満たすものとする．

$\text{①}$　$\mathrm{C}$の要素の個数は$8$

$\text{②}$　$\mathrm{A}\cap \mathrm{C}$の要素の個数は$5$

$\text{③}$　$\mathrm{B}\cap \mathrm{C}$の要素の個数は$4$

$\text{④}$　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}$の要素の個数は$2$

　このとき，$\mathrm{C}\cap (\overline{\mathrm{A}\cup \mathrm{B}})$の要素の個数を求めなさい．

【３】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}x+y\leqq 1\\ -x+y\leqq 1\\ 2x^2-y\leqq 2\end{array}$

で表される$xy$平面上における領域$T$を考える．

(1)　領域$T$を図示しなさい．

(2)　$0<p<1$を満たす定数$p$に対し，$1$次式$(2p-1)x+y$を考える．点$(x,y)$が領域$T$を動くとき，$(2p-1)x+y$の最大値と，それを与える$(x,y)$を求めなさい．

(3)　$p>0\text{，}q>0\text{，}p+q=3$を満たす定数$p\text{，}q$に対し，$1$次式$(p-q)x+3y$を考える．点$(x,y)$が領域$T$を動くとき，$(p-q)x+3y$の最大値と，それを与える$(x,y)$を求めなさい．

(4)　$p>0\text{，}q>0$を満たす定数$p\text{，}q$に対し，$1$次式$(p-q)x+(p+q)y$を考える．点$(x,y)$が領域$T$を動くとき，$(p-q)x+(p+q)y$の最大値を$p$と$q$を用いて表しなさい．