2003　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}\text{，}\text{q}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　座標平面において，円$x^2+y^2=2$の接線で，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+5$とのなす角が$45\mathrm{°}$であるのは，

$\boxed{\text{p}}\boxed{\text{ア}}x+y=\pm \boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

または

$\boxed{\text{q}}x+\boxed{\text{エ}}y=\pm \boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}\text{，}\text{q}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$4$つの成分$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$をそれぞれ$0\text{，}1\text{，}2\text{，}4$の中から重複を許して選ぶ．

(a)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の選び方は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}$通りある．

(b)　$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$とする．このとき，$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$となるような$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の選び方は全部で$\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}$通りある．

(c)　行列$A$が逆行列を持つような$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の選び方は全部で$\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$通りある．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナには$0$から$9$までの数字の$1$つが，英文字$\text{p}\text{，}\text{q}$には符号$+$（プラス）または$-$（マイナス）の$1$つがあてはまる．その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　$x$に関する$2$次方程式$x^2-6(m-4)x+3(m^2-6m+10)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．$\alpha \text{，}\beta$が

$|\alpha |+|\beta |=6$

を満たすのは，$m=\boxed{\text{ア}}$または$m=\boxed{\text{p}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}+\boxed{\text{ウ}}$のときである．

【２】(1)　曲線$y=(2x+1)\sqrt{2x+1}$の区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$にある部分の長さを求めなさい．

【２】(2)　座標空間において，点$\mathrm{A}(3,-3,2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(6,4,3)$に平行な直線を$l$とする．また，$x$軸上に点$\mathrm{B}$を線分$\mathrm{AB}$が直線$l$に垂直になるようにとり，$y$軸上に点$\mathrm{C}$を線分$\mathrm{AC}$が直線$l$に垂直になるようにとる．

(a)　点$\mathrm{A}$との距離が$1$である直線$l$上の点の座標を求めなさい．

(b)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を求めなさい．

(c)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面と$z$軸との交点の座標を求めなさい．

【３】　図のような$▵\mathrm{OPQ}$において，$\angle \mathrm{P}$の$2$等分線が辺$\mathrm{OQ}$と交わる点を$\mathrm{R}$とし，$▵\mathrm{OPR}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{QPR}$の面積を$S_2$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{PO}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とおく．このとき$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}$となる実数$\alpha \text{，}\beta$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$を用いて表しなさい．また，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$を用いて表しなさい．

　以下，座標平面において，$▵\mathrm{OPQ}$の頂点$\mathrm{O}$を原点$(0,0)$とし，また$t>0$に対して頂点$\mathrm{P}$を$(t,t^2)\text{，}$頂点$\mathrm{Q}$を$(t^2,0)$とする．

(2)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めなさい．

(4)　$t$を$t>0$の範囲で動かすとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の最小値およびそのときの$t$の値を求めなさい．