2003　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(1)　中心間の距離が$2$であるような半径$1$の球と半径$2$の球がある．これらの球の表面の交わりは半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}{4}}$の円になり，これらの球の重なった部分の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}\pi$となる．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(2)　空間において，$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．底面の三角形$\mathrm{ABC}$内に点$\mathrm{P}$があり，内積についての条件$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}={\displaystyle \frac{5}{8}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$を満たしているとする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

となるので，線分$\mathrm{OP}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}{4}}$となる．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{CQ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$となる．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　整式$f(x)\text{，}g(x)$が

$f(x)=a_{44}{x}^{44}+a_{43}{x}^{43}+\cdots +a_{1}x+a_0$，

$g(x)=b_{18}{x}^{18}+b_{17}{x}^{17}+\cdots +b_{1}x+b_0$

で与えられているとき，それらの積$f(x)g(x)$は

$f(x)g(x)=c_{62}{x}^{62}+c_{61}{x}^{61}+\cdots c_{1}x+c_0$

と表すことができる．$x^n$の係数$c_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}62\text{）}$は，$a_i{b}_j$の形の項の和で表される．その項数を$T_n$とする．$T_n$が最大となるような$n$の値は$\boxed{\text{チ}\text{ツ}}$通りあり，$T_n$の最大値は$\boxed{\text{テ}\text{ト}}$である．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(4)　半径$4$の円$C$の周上に中心をもつ半径$r$の$n$個の円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$が，この順に外接してすき間なく並んでいるとする．したがって，$C_n$と$C_1$の外接している．$n=12$のとき，$r=\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$の円周の長さの和を$L_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n=\boxed{\text{ヌ}}{\pi }^{\boxed{\text{ネ}}}$となる．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2x}}\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)(a)　$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義される数列$\{a_n\}$について，$a_{n+1}-\sqrt{5}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n-\sqrt{5})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(b)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}-f^{\prime }(b_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義される数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

【３】　$2$つの曲線

$C_1:y=e^{-{(x-a)}^2}$

$C_2:y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e}}}\sin {\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi x}{4}}$

について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底，$a$は定数である．

(1)　曲線$C_1$の接線で点$(-1,0)$を通るものの本数を調べよ．

(2)　曲線$C_1$の変曲点は$2$つある．それらの点の$x$座標を調べよ．

(3)　曲線$C_1$の$2$つの変曲点における接線のうち，傾きが正のものを$l$とする．$l$が原点を通るように定数$a$の値を定め，$l$の方程式を求めよ．

(4)　(3)で定めた接線$l$と曲線$C_2$との交点を求めよ．

(5)　(3)で定めた接線$l$と曲線$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．