2004　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$x$に関する$2$次方程式$x^2-4x+{\log }_{2}a=0\text{（}a>0\text{）}$について考える．

(a)　この方程式が$x=1$を解にもつならば，$a=\boxed{\text{ア}}$であって，もう一つの解は$x=\boxed{\text{イ}}$である．

(b)　この方程式が$x={\log }_{2}a$を解にもつならば，$a$の値の小さい順に，$a=\boxed{\text{ウ}}$または$a=\boxed{\text{エ}}$である．

(c)　この方程式が実数解をもつためには，$0<a\leqq \boxed{\text{オ}\text{カ}}$となることが必要十分である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\sin \theta ,k,\cos \theta )$があり，$▵\mathrm{ABC}$はどのような$\theta$の値に対しても正三角形になるという．

(a)　$k=\boxed{\text{キ}}$である．

(b)　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，$▵\mathrm{ABC}$の一辺の長さの最小値は$\boxed{\text{ク}}$であり，最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．

(c)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{OG}$の長さが最大となるのは，$\theta$の値の小さい順に

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\pi$と$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\pi$

のときである．また$\mathrm{OG}$の長さの最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$z$を複素数とする．

(a)　$z$が，$z^3=1\text{，}z\ne 1$を満たすとき，

$(1-z)(1-z^2)=\boxed{\text{タ}}$

${\displaystyle \frac{1}{1-z}}+{\displaystyle \frac{1}{1-z^2}}=\boxed{\text{チ}}$

である．

(b)　$z$が，$z^5=1\text{，}z\ne 1$を満たすとき，

$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)=\boxed{\text{ツ}}$

${\displaystyle \frac{1}{1-z}}+{\displaystyle \frac{1}{1-z^2}}+{\displaystyle \frac{1}{1-z^3}}+{\displaystyle \frac{1}{1-z^4}}=\boxed{\text{テ}}$

である．

【２】　$xy$平面において，$a_0=1$とし，$y$軸上の点${\mathrm{P}}_0(0,a_0)$から曲線$C:x^2-{\displaystyle \frac{1}{12}}{y}^2=1$の$x>0$の部分に引いた接線の接点を${\mathrm{T}}_1(a_1,b_1)$として，$y$軸上に点${\mathrm{P}}_1(0,a_1)$をとる．これを順次くり返して，一般に$n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対して，$y$軸上の点${\mathrm{P}}_n(0,a_n)$から曲線$C$の$x>0$の部分に引いた接線の接点を${\mathrm{T}}_{n+1}(a_{n+1},b_{n+1})$として，$y$軸上に点${\mathrm{P}}_{n+1}(0,a_{n+1})$をとる．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{{a_n}^2+3}}=c_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$c_{n+1}$を$c_n$で表し，数列$\{c_n\}$の一般項$c_n$を求めよ．

(3)　$n$が限りなく大きくなるとき，点${\mathrm{T}}_n$は曲線$C$上のどの点に近づくか．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$について以下の問に答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx\text{，}$および${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)\}}^{2}dx$を求めよ．

(2)　区間$[-1,1]$を$n$等分する点$x_0\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$を

$x_k=-1+{\displaystyle \frac{2k}{n}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

とし，$xy$平面上の一点$\mathrm{P}(a,b)$と，$y=f(x)$のグラフ上の点${\mathrm{X}}_k(x_k,f(x_k))$とを結ぶ線分$\mathrm{P}{\mathrm{X}}_k$の長さを$l_k$とおく．

(a)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{l_k}^2$を定積分の形に表せ．さらに，その値を$a\text{，}b$で表せ．

(b)　(a)で求めた値を$L$とおく．点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$L$の最小値，および最小値を与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．