2004　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】(1)　$a\text{，}b$を実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\cos 2x+a\sin x+b$

により定める．また，記号$[-{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$は，$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるような実数$x$全体の集合を表す．

(ア)　区間$[-{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$に属するすべての実数$x$に対して$f(x)\leqq 9$となるような点$(a,b)$全体がなす領域を，$a\text{，}b$に関する不等式を用いて表せ．

(イ)　区間$[-{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$に属するすべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$となるような点$(a,b)$全体がなす領域を，$a\text{，}b$に関する不等式を用いて表せ．

(ウ)　区間$[-{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$に属するすべての実数$x$に対して$0\leqq f(x)\leqq 9$となるような点$(a,b)$全体がなす領域を，解答用紙の座標平面に図示せよ．

(2)　(1)(ウ)で求めた領域を$D$とする．

(ア)　点$(a,b)$が領域$D$を動くときの$a+2b$の最大値と最小値，および，それらを与える点$(a,b)$を求めよ．

(イ)　点$(a,b)$が領域$D$を動くときの$a^2+{(b-9)}^2$の最大値と最小値，および，それらを与える点$(a,b)$を求めよ．

【２】(1)　$a$を正の実数とする．$a+t>0$であるような$0$でない実数$t$に対し，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$の，点$(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})$における法線と点$(a+t,{\displaystyle \frac{1}{a+t}})$における法線の交点の$x$座標，$y$座標を，それぞれ，$p(t)\text{，}q(t)$で表す．このとき，$\underset{t\to 0}{\lim }p(t)\text{，}\underset{t\to 0}{\lim }q(t)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\underset{t\to 0}{\lim }p(t)\text{，}\underset{t\to 0}{\lim }q(t)$は$a$の値によって変化するので，それぞれを$f(a)\text{，}g(a)$で表すことにする．

(ア)　$a$が正の実数全体を動くときの$f(a)$の最小値と，最小値を与える$a$の値を求めよ．

(イ)　$a$が$1$から$2$まで動くときに点$(f(a),g(a))$が描く曲線と，$x$軸，および，直線$x=f(1)\text{，}x=f(2)$で囲まれた部分の面積を求めよ．