2005　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$内のカタカナおよびひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

　実数$a$を超えない最大の整数を$[a]$で表す．すなわち$a=n+c\text{，}n$は整数，$c$は$0$または小数（$0\leqq c<1$）のとき，$[a]=n$である．

(1)　$f(x)=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}x+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}x\text{（}-1<x<9\text{）}$とする．関数$f(x)$が極値をとる$x$の値は$5$つあり，それらを$t_1\text{，}{t}_2\text{，}{t}_3\text{，}{t}_4\text{，}{t}_5\text{（}-1<t_1<t_2<t_3<t_4<t_5<9\text{）}$とする．

(a)　$t_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}f(t_1)=\boxed{\text{イ}}\text{，}$

$t_3=\boxed{\text{ウ}}\text{，}f(t_3)=\boxed{\text{エ}}\text{，}$

$t_5=\boxed{\text{オ}}\text{，}f(t_5)=\boxed{\text{カ}}$

(b)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_2=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}[t_2]=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_4=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}[t_4]=\boxed{\text{シ}}$

(c)　$f(t_2)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

(d)　$f(x)=0$となる$x$の値は$3$つあり，それらを${t_1}^{\prime }\text{，}{t_2}^{\prime }\text{，}{t_3}^{\prime }\text{（}-1<{t_1}^{\prime }<{t_2}^{\prime }<{t_3}^{\prime }<9\text{）}$とすると，${t_1}^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}{t_3}^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

(e)　$y=f(x)$のグラフは，直線$x=\boxed{\text{ナ}}$に関して対称である．

(2)　$g(x)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}x+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}x\text{（}-1<x<9\text{）}$とする．関数$g(x)$が極値をとる$x$の値は$4$つあり，それらを$t_1\text{，}{t}_2\text{，}{t}_3\text{，}{t}_4\text{（}-1<t_1<t_2<t_3<t_4<9\text{）}$とする．

(a)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_1={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{，}$

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_2={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ハ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヒ}\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\text{，}$

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_3={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ホ}}-\sqrt{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}}}{\boxed{\text{ム}}}}\text{，}$

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_4={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{メ}}+\sqrt{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$

(b)　$[t_1]=\boxed{\text{ヨ}}\text{，}[t_2]=\boxed{\text{ラ}}\text{，}[t_3]=\boxed{\text{リ}}\text{，}[t_4]=\boxed{\text{ル}}$

解答に際し，次の結果を利用するとよい．

$\cos 54\mathrm{°}<0.5878<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_1<0.6018<\cos 53\mathrm{°}$

$\cos 33\mathrm{°}<0.8387<-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}{t}_2<0.8480<\cos 32\mathrm{°}$

(c)　$g(x)=0$となる$x$の値は$5$つあり，それらを${t_1}^{\prime }\text{，}{t_2}^{\prime }\text{，}{t_3}^{\prime }\text{，}{t_4}^{\prime }\text{，}{t_5}^{\prime }\text{（}-1<{t_1}^{\prime }<{t_2}^{\prime }<{t_3}^{\prime }<{t_4}^{\prime }<{t_5}^{\prime }<9\text{）}$とすると，

${t_1}^{\prime }=\boxed{\text{レ}}\text{，}{t_2}^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}\text{あ}}}{\boxed{\text{い}}}}\text{，}{t_3}^{\prime }=\boxed{\text{う}}\text{，}{t_4}^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{え}\text{お}}}{\boxed{\text{か}}}}\text{，}{t_5}^{\prime }=\boxed{\text{き}}$

(d)　$y=g(x)$のグラフは，点$(\boxed{\text{く}},\boxed{\text{け}})$に関して対称である．

【２】　$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$で表す．$C$上に$2$つの動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，時刻$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$のときの点$\mathrm{P}$の位置は$(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}t,\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}t)\text{，}$点$\mathrm{Q}$の位置は$(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t,\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}t)$である．各時刻$t$における線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がある時刻で一致する場合には，$\mathrm{R}$はそれらと同一の点とする．また時刻$t$における$\mathrm{R}$の位置を$\mathrm{R}(t)$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{R}(t)$の座標を$t$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{R}$が時刻$t=0$の点$\mathrm{R}(0)$から出発して，初めてこの点に戻る時刻$T$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$の軌跡の概形を，対称性に注意して解答用紙の座標平面に描け．なお，$8$点$\mathrm{R}(t)\text{（}t=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}7\text{）}$を図の中に明示すること．

(4)　$\mathrm{R}(1)$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$である．時刻$t$が$0$から$1$までかわるときの点$\mathrm{R}$の軌跡と，直線$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$と，$x$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　空間において，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$三角形$\mathrm{AMD}$の内接円を$C$とし，その中心を$\mathrm{N}$とする．

(1)　円$C$の半径を求めよ．

(2)　$\mathrm{MN}$の長さを求めよ．

(3)　空間座標を用いて四面体$\mathrm{ABCD}$をつぎのように表す．

$\mathrm{A}$の$z$座標は正であるとし，$\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0,0)\text{，}\mathrm{D}(0,\sqrt{3},0)$とする．

このとき$\mathrm{N}$の座標を求めよ．

(4)　動点$\mathrm{P}$が円$C$の周上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$の最大値および最小値を求めよ．