2006　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　平面上に$▵\mathrm{OAB}$があり，$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{AB}=7$を満たしている．$s\text{，}t$を実数とし，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}1\leqq s+t\leqq 2$を満たすとき，点$\mathrm{P}$が存在しうる部分の面積を求めよ．

(3)　$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}1\leqq 2s+t\leqq 2\text{，}s+3t\leqq 3$をみたすとき，点$\mathrm{P}$が存在しうる部分の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上に曲線$C:y=2x^2-3x+2+(x-2)|x-1|$と直線$l:y=ax-a+1$がある．$c$と$l$で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$の最小値を求めよ．

（編注）2023年名古屋市立大　前期経済学部【３】で改変して活用

【３】　数列$\left\{a_n\right\}$に対し，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．すべての自然数$n$に対して，$a_n>0$および関係式

$(3n^2+3n-1)S_n=5T_n$

が成り立つものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^x}x{(\log x)}^{2}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}{\displaystyle \frac{dx}{{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x}}$

【２】　$a$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$を満たす定数とする．関数

$f(x)=a\log (1+x)+(1-a)\log (1-x)(\mathrm{-1}<x<1)$

に対して$y=f(x)$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$C$の概形を描け．

(2)　$C$と$x$軸が$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で交わるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$に対し，$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面上に，定点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}$直線$l:(\cos \theta )x+(\sin \theta )y=k$および円$C:x^2+y^2=2$がある．ただし，$0\leqq k<\sqrt{2}\text{，}0\leqq \theta <2\pi \text{，}3\sin \theta \ne k$とする．$l$と$C$の$2$交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$▵\mathrm{APQ}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$k\text{，}\theta$で表せ．

(2)　$k$を固定し，$\theta$を動かしたときの$S$の最大値を$f(k)$とする．$f(k)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$f(k)$を最大にする$k$の値を求めよ．

【４】　$xy$平面上の$x\geqq 0$の範囲で，直線$y=x$と曲線$y=x^n(n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots )$により囲まれる部分を$D$とする．$D$を直線$y=x$のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$V_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n$を求めよ．

【５】　$a$を正の数とするとき，$2$曲線$y=\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$y=a\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$S$で表せ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とするとき

$\log n\leqq {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{k}}\leqq 1+\log n$

であることを示せ．

(3)　$2$以上の整数$n$に対し，$E_n$を次のように定める．

　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$の各$k$に対し，$S={\displaystyle \frac{k}{n}}$のときの$a$を$a_k$とおき，$E_n={\displaystyle \frac{1}{n-1}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{a}_k$とする．

　このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{\log n}}$

を求めよ．