2006　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$729$の正の約数の個数は$\boxed{\text{ア}}$で，$784$の正の約数の個数は$\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．また，$l\text{，}m\text{，}n$を正の整数として，$2^l{3}^m{5}^n$の正の約数の個数を考える．$l+m+n=9$のとき，その最大個数は$\boxed{\text{エ}\text{オ}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$が$a_n={\displaystyle \frac{1}{9}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}\text{（}n\geqq 1\text{）}$で与えられている．このとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．また，$0\leqq r\leqq 1$を満たす$r$に対し，

${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n{r}^n={\displaystyle \frac{r-\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}r-\boxed{\text{コ}}}}$

となる．よって，

${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n{r}^n=r$

を満たす$r$は，$2$次方程式

$\boxed{\text{サ}}{r}^2-\boxed{\text{シ}}r+\boxed{\text{ス}}=0$

の解となり，

$r=\boxed{\text{セ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヘ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$1$辺の長さ$1$の正方形がある．正方形の各辺を底辺とする高さが$x$の二等辺三角形を切り取り，残りを図の点線にそって折り曲げ，四角錐を作る．ただし，$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(a)　この四角錐の底面となる正方形の面積は，$\boxed{\text{チ}}{x}^2-\boxed{\text{ツ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(b)　この四角錐の体積は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}\text{フ}\text{ヘ}}}}$をとる．

【２】　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=1$となる四角形$\mathrm{ABCD}$を考え，その面積を$S$とする．また，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおく．

(1)　$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$1$つ固定する．$▵\mathrm{ACD}$の面積が最大となる$\angle \mathrm{ACD}$の値を求め，このときの$▵\mathrm{ACD}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとする．

(a)　$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

(b)　$S$が最大値をとるとき，四角形$\mathrm{ABCD}$がある円に内接することを証明し，その円の中心と半径を答えよ．

【３】　$a\text{，}b$を定数とする．$xy$平面上に，円$C:x^2+y^2-2ay+b=0$と放物線$P:y=x^2$がある．円$C$は点$(1,1)$を通る．また，円$C$の半径を$r$とする．

(1)　$b$と$r$を，$a$を用いて表せ．

(2)　円$C$と放物線$P$の共有点が領域$0<y<1$に$1$つもないときの$a$の値の範囲を求めると，

$a\leqq s\text{，}t\leqq a$

になる．この$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるときを考える．

(a)　$a<s$のとき，$0\leqq y\leqq 1$の範囲で，円$C$と放物線$P$と$x$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(a)$を求めよ．

(b)　$a\geqq t$のとき，$0\leqq y\leqq 1$の範囲で，円$C$と放物線$P$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(a)$について，$\underset{a\to \infty }{\lim }V(a)$を求めよ．