2009　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$とおく．すると，$A^2\text{，}{A}^3$は

$A^2=\left(\begin{array}{cc}-\boxed{\text{ア}}& -\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\\ \boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}& -\boxed{\text{カ}}\end{array}\right)\text{，}{A}^3=\left(\begin{array}{cc}-\boxed{\text{キ}}& \boxed{\text{ク}}\\ \boxed{\text{ケ}}& -\boxed{\text{コ}}\end{array}\right)$

である．また，$A^6$は

$A^6=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{サシ}}& \boxed{\text{ス}}\\ \boxed{\text{セ}}& \boxed{\text{ソタ}}\end{array}\right)$

である．

(2)　$a\text{，}b$を実数とし，$B=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$とおく．$B^2=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -3& 0\end{array}\right)$を満たすならば，$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}$または，$a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【２】　平面上に$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$である台形$\mathrm{ABCD}$があり，辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の長さの比が$\mathrm{AD}:\mathrm{BC}=3:5$であるとする．辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{DC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とおく．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

となる．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{DF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

となる．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{EF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$

となる．

(4)　線分$\mathrm{EF}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．すると，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{BD}$を$\boxed{\text{コサ}}:\boxed{\text{シス}}$に内分する．

【３】(1)　座標平面において，$y=\sin x$のグラフと$y=\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$のグラフの共有点で$0\leqq x\leqq 3\pi$の範囲に存在するものは，原点以外に$\boxed{\text{ア}}$個ある．また，$0\leqq x\leqq 30$の範囲に存在する共有点は，原点以外に$\boxed{\text{イ}}$個ある．

(2)　$a$を正の実数とする．$y=\sin x$のグラフと$y=ax$のグラフが原点以外で共有点をもつのは，$a<\boxed{\text{ウ}}$のときである．$a={\displaystyle \frac{1}{30}}$のとき，$y=\sin x$のグラフと$y=ax$のグラフの共有点で$x\geqq 0$の範囲に存在するものは，原点以外に$\boxed{\text{エ}}$個ある．（円周率$\pi$の近似値が必要な場合は$3.14$として計算せよ．）

【４】　$k$を実数として，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{9}}x{e}^{3x}+k$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の設問に答えよ．

(1)　$-1\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそれぞれのときの$x$の値を求めよ．ただし，最大値と最小値は$k$の式で表せ．

　ここで，座標平面において，曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線が原点を通るとする．その接線を$l$とおく．以下の設問に答えよ．

(2)　実数$k$の値と直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$l$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　座標平面上の円$C:x^2+y^2=9$と直線$l:y=-2x+3$を考える．次の設問に答えよ．

(1)　円$C$と直線$l$の$2$つの交点の座標を求めよ．

　ここで，$t$を実数とし，直線$l$上に点$\mathrm{P}(t,-2t+3)$をとる．以下の設問に答えよ．

(2)　点$\mathrm{Q}(u,v)$が円$C$上を動くときの線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡$C^{\prime }$を考える．ただし，もし$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が一致するならば，その一致する点を$\mathrm{M}$とする．こうして得られる$C^{\prime }$は円となる．$C^{\prime }$の半径の値を求め，中心の座標を$t$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，(2)で得られた円$C^{\prime }$の中心の軌跡の方程式を求めよ．

(4)　円$C$と(2)で得られた円$C^{\prime }$が外接するときの$t$の値を求めよ．