2009　東京理科大学　工学部第二部B方式3月7日実施MathJax

【１】　$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{7}{2}}\text{，}\mathrm{CA}=4$の三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BD}$の長さはそれぞれ

$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}\text{，}\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}$である．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}$である．

【２】　$a$を実数とするとき，$x\text{，}y$についての連立$1$次方程式

$\left(\begin{array}{cc}a-1& 1\\ -2& a-4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ a\end{array}\right)$

を考える．

$a=\boxed{\text{ア}}$のとき，この連立$1$次方程式は無数に解をもち，

$a=\boxed{\text{イ}}$のとき，この連立$1$次方程式は解をもたない．

また，$a=14$のとき，この連立$1$次方程式は$1$つの解をもち，その解は

$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$

である．

【３】　右図のように円に内接する六角形$\mathrm{ABCDEF}$があり，それぞれの辺の長さは，

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=2\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{DE}=\mathrm{FA}=3$

である．円の半径を$R$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}\mathrm{°}$である．

(2)　円の半径$R$は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(3)　六角形$\mathrm{ABCDEF}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{コ}}}$である．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，点$\mathrm{A}(1,0,-1)$と点$\mathrm{B}(2,2,1)$をとる．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線$l$上の点$\mathrm{P}$が，$\mathrm{OP}\perp l$をみたすとき，点$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$

である．

(2)　点$(1,2,\boxed{\text{ク}})$は$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面上にある．

【５】　$x$の関数$f(x)$に対して，式

$f(x)=-f(-x)$

および式

$f(2x)={\displaystyle \frac{a\cdot 4^x+a-4}{4^x+1}}$

が成り立つ．ただし，$a$は実数の定数である．

(1)　$a=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$について，$f^{-1}\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)={\log }_2\boxed{\text{イ}\text{ウ}}-{\log }_2\boxed{\text{エ}}$である．