2009　同志社大　神・心理・商学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(5,0)$からの距離の比が$3:2$である点$\mathrm{P}$の軌跡$C_1$の方程式は$\boxed{\text{ア}}$であり，この軌跡上を点$\mathrm{P}$が動くときの$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{Q}$の軌跡$C_2$の方程式は$\boxed{\text{イ}}$である．軌跡$C_1$と軌跡$C_2$の共有点の$x$座標の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$xy=180$を満たす正の整数$x\text{，}y$の組は$\boxed{\text{エ}}$通りあり，その組の中で$x+y$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$2xy=180+21x$を満たす正の整数$x\text{，}y$の組の中で，$x+y$の値が最小となるのは$x=\boxed{\text{カ}}\text{，}y=\boxed{\text{キ}}$のときであり，$2xy=180-5x$を満たす正の整数$x\text{，}y$の組の中で，$x^{2}y$の値が最大となるのは$x=\boxed{\text{ク}}\text{，}y=\boxed{\text{ケ}}$のときである．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．また，直線$\mathrm{OA}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{p}}\overrightarrow{a}\text{（}0<p<3\text{）}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{1}{q}}\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$q$を$p$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積$T$を$p\text{，}S$を用いて表せ．

(5)　点$\mathrm{P}$が$0<p<3$の範囲を動くときの${\displaystyle \frac{T}{S}}$の最小値を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．曲線$C:y=|x^2-4|+2x$と直線$L:y=2x+a$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形を座標平面上に図示せよ．

(2)　曲線$C$と直線$L$の共有点の個数は，定数$a$の値によって，どのように変わるか述べよ．

(3)　曲線$C$と直線$L$の共有点がちょうど$3$つ存在するとき，曲線$C$と直線$L$で囲まれた領域の面積を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$L$の共有点が$4$つ存在するとき，それら$4$つの共有点の隣り合う$2$点間の距離がすべて等しくなるように$a$の値を定めよ．