2010　東京理科大学　理学部二部3月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからキにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}0.4771$として計算せよ．

(1)　一般に自然数$x$が$N$桁となるための必要十分条件は

${(\boxed{\text{ア}\text{イ}})}^{N-1}\leqq x<{(\boxed{\text{ウ}\text{エ}})}^N$

である．このことから${18}^{20}$が$\boxed{\text{オ}\text{カ}}$桁の自然数であることがわかる．

(2)　${\left({\displaystyle \frac{4}{45}}\right)}^6$は小数第$\boxed{\text{キ}}$位で初めて$0$でない数字が現れる．

【２】　次の$\boxed{}$内のクからコにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

　$a\text{，}b$を実数，$i$を虚数単位とする．$3$次方程式$2x^3+a{x}^2+4x+b=0$が虚数解$1+\sqrt{3}i$をもつとき，$a=-\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}$となる．このとき，この方程式の実数解は$-\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$内のサからスにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2-8x+n=0$が実数解をもたないような$0$以上の整数$n$のうち最小なものは$n=\boxed{\text{サ}\text{シ}}$である．

(2)　$2$次方程式$x^2-8x+n=0$の解がすべて整数となるような$0$以上の整数$n$の個数は$\boxed{\text{ス}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$内のセからチにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

　$x$についての不等式

$\cos 2x+4a\sin x+2a^2-8a-9<0$

の解が，すべての実数となるような定数$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{セ}}-\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}<a<\boxed{\text{タ}}+\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

である．

【５】　次の$\boxed{}$内のツからヌにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

　平面上の正方形$\mathrm{OABC}$において，対角線$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{a_1}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{a_2}$とするとき

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\overrightarrow{a_1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\overrightarrow{a_2}$

となる．$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$l$上の点$\mathrm{P}$に対し，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a_1}+t\overrightarrow{a_2}$

とする．$\mathrm{P}$が$l$上を動くとき，実数$s$と$t$は次の式を満たす．

$s+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}t=1$

【６】　次の$\boxed{}$内のネからメにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

　条件

$x_1=1\text{，}{y}_1=1$

$x_{n+1}=x_n+4y_n\text{，}{y}_{n+1}=2x_n-y_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$について考える．$z_n=x_n-2y_n$とするとき，

$z_{n+1}=-\boxed{\text{ネ}}{z}_n$

となるので

$z_n=-{(-\boxed{\text{ノ}})}^{n-\boxed{\text{ハ}}}$

となることがわかる．同様に$w_n=x_n+y_n$とするとき，$w_n$を求めることができるので

$x_n=4{(\boxed{\text{ヒ}})}^{n-\boxed{\text{フ}}}+{(-\boxed{\text{ヘ}})}^{n-\boxed{\text{ホ}}}$

$y_n=2{(\boxed{\text{マ}})}^{n-\boxed{\text{ミ}}}-{(-\boxed{\text{ム}})}^{n-\boxed{\text{メ}}}$

となる．

【７】　次の$\boxed{}$内のモからン，あからかにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

　関数$y=x^2-6x$のグラフを$C$とする．曲線$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．$\mathrm{E}(0,0)$とすると$\mathrm{F}(\boxed{\text{モ}},0)$となる．また，$C$の頂点の座標は$(\boxed{\text{ヤ}},-\boxed{\text{ユ}})$である．$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$を線分$\mathrm{EF}$上の$2$点とし，$\mathrm{G}(3-t,0)\text{（}0<t<3\text{）}$とする．$\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}$を$C$上の$2$点とし，$4$角形$\mathrm{GHIJ}$が長方形となるとする．ただし，$\mathrm{GI}\text{，}\mathrm{HJ}$は長方形$\mathrm{GHIJ}$の対角線とする．このとき，$\mathrm{H}(\boxed{\text{ヨ}}+t,0)$となる．

(1)　長方形$\mathrm{GHIJ}$の周の長さを$l$とすると

$l=-\boxed{\text{ラ}}{t}^2+\boxed{\text{リ}}t+\boxed{\text{ル}\text{レ}}$

となる．$t=\boxed{\text{ロ}}$のとき$l$は最大となり，その最大値は$\boxed{\text{ワ}\text{ヲ}}$である．

(2)　長方形$\mathrm{GHIJ}$の面積は，$t=\sqrt{\boxed{\text{ン}}}$のとき最大となり，その最大値は$\boxed{\text{あ}\text{い}}\sqrt{\boxed{\text{う}}}$である．

(3)　$t$を(1)で求めた値とする．$C\text{，}x$軸，直線$\mathrm{GJ}$および直線$\mathrm{HI}$によって囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{え}\text{お}}}{\boxed{\text{か}}}}$である．