2012　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{リ}}$までに当てはまる$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ

$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{AC}=4\sqrt{2}$

であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと

$\cos B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，

$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$▵\mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，

$\mathrm{AD}=\sqrt{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}$

であり，さらに$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$▵\mathrm{AOD}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{リ}}$までに当てはまる$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．

(a)　取り出した玉の色がすべて青色である確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}$である．

(b)　取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}{165}}$である．

(c)　取り出した玉の色が$3$種類である確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$である．

(d)　取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{リ}}$までに当てはまる$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　関数$f_0(x)\text{，}{f}_1(x)\text{，}{f}_2(x)$を

$f_0(x)=e^{x^2}\text{，}{f}_1(x)=x{e}^{x^2}\text{，}{f}_2(x)=x^2{e}^{x^2}$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．

関数$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$の導関数を$g_n(x)$とすると，

$g_0(x)=\boxed{\text{ニ}}x{e}^{x^2}$

$g_1(x)=(\boxed{\text{ヌ}}{x}^2+\boxed{\text{ネ}})e^{x^2}$

$g_2(x)=(\boxed{\text{ノ}}{x}^3+\boxed{\text{ハ}}x)e^{x^2}$

である．関数$h(x)$を

$h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2}$

と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-\boxed{\text{ヒ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}$である．また，

$h(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}{g}_2(x)+\boxed{\text{ム}}{g}_1(x)-\boxed{\text{メ}}{g}_0(x)$

であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，

$S={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{モ}}}}(\boxed{\text{ヤ}}e-\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}{e}^{\frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}})$

となる．

【２】　$r$を$0<r<1$を満たす実数として，次のように行列とベクトルを定める．

$A=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 2r-1& 1-r\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}Q=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

またベクトル$Q_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$Q_1=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)\text{，}{Q}_n=A{Q}_{n-1}+P\text{（}n\geqq 2\text{）}$

として定める．

(1)　$AP=\alpha P\text{，}AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(2)　$A^{n}P\text{，}{A}^{n}Q$を求めよ．

(3)　$Q_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$を求めよ．

(4)　座標平面において，各$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し座標が$(a_n,0)$である点を${\mathrm{X}}_n\text{，}$座標が$(a_n,b_n-a_n)$である点を${\mathrm{Y}}_n$とする．さらに，台形${\mathrm{X}}_n{\mathrm{X}}_{n+1}{\mathrm{Y}}_{n+1}{\mathrm{Y}}_n$の面積を$S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とし，

$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$

とする．

(a)　$S$を求めよ．

(b)　$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の点$\mathrm{P}(p,q)$が，媒介変数$\theta$により

$p=1+2\cos \theta \text{，}q=1+\sin \theta \text{（}-\pi <\theta \leqq \pi \text{）}$

で与えられている．$a$を非負の定数とするとき，点$\mathrm{P}$から，原点$\mathrm{O}$と点$(1,a)$を通る直線に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$の座標を$(u,v)$とする．点$\mathrm{P}$が$p\geqq 2$を満たす範囲にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta$と$q$の値の範囲を求めよ．

(2)　$u$を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　$N=\sqrt{u^2+(2+a^2)v^2}$とおく．$N$を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(4)　各$a$に対して，点$\mathrm{P}$が$p\geqq 2$を満たすように動くとき，(3)で求めた$N$の最大値を$M(a)$により表す．

(a)　$M(0)$を求めよ．

(b)　$a>0$のとき，$M(a)$を求めよ．