2012　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

　関数$f(x)=2x^3-9x^2+27\text{，}$および関数$g(x)=8^x-9\cdot 2^{2x-1}+k$を考える．ただし，$k$は実数とする．

　関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{ア}}$のとき極小値$\boxed{\text{イ}}$をとる．

　方程式$g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}<k<\boxed{\text{エ}}$である．

　曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における接線$l$の方程式は，$\boxed{\text{オ}}$である．直線$l$が点$(0,40)$を通るとき，曲線$C$と直線$l$の接点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{カ}}$であり，曲線$C$と直線$l$の交点で，接点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\boxed{\text{キ}}$である．またこのとき，曲線$C$に接し，直線$l$に平行で，直線$l$とは異なる直線$m$の方程式は，$\boxed{\text{ク}}$である．さらに，曲線$C$と直線$m$との接点を$\mathrm{R}$とおくと，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$を通る直線$n$の方程式は$\boxed{\text{ケ}}$であり，直線$n$と曲線$C$との交点のうち，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$以外の交点$\mathrm{S}$の$y$座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$2$次方程式$x^2-p^{2}x-q=0$が$x=a-b\sqrt{5}$を解に持つことを示せ．

(2)　$p\text{，}a$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$q$を$10$で割ったときの余りを求めよ．

(4)　$b\text{，}q$の値を$q$の値が小さい順に$2$組求めよ．

$a_1=\alpha \text{，}{a}_{n+1}={a_n}^2-2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$\cos 2\theta \text{，}\cos 4\theta$をそれぞれ$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　$0<\alpha \leqq 2$のとき，定数$p$が$0\leqq p<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であり，$\alpha =2\cos p$を満たすとする．このとき，数列$\{a_n\}$の一般項を推測し$n\text{，}p$を用いて表せ．また，推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

(3)　$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(3^t+3^{-t})$とおく．$f(2t)\text{，}f(4t)$をそれぞれ$f(t)$を用いて表せ．

(4)　$\alpha >2$のとき，$\alpha =2f(c)$を満たす正の実数$c$を$\alpha$を用いて表せ．

(5)　$\alpha >2$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を$n\text{，}c$を用いて表せ．ただし$c$は$\alpha =2f(c)$を満たす正の実数である．