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2012-14861-0501
2012 同志社大学 文化情報,スポーツ健康科学部理系,生命医科学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) 2 次方程式 3⁢ x2- (1+ 2⁢2 )⁢x +α=0 の 2 つの解が, cos⁡θ , sin⁡θ (0 <θ< π 4 ) と書けるとする.解と係数の関係より cos ⁡θ+sin ⁡θ= ア であり, cos⁡θ ⁢sin⁡θ = イ となる.これより, α= ウ となり, cos⁡θ = エ , sin⁡θ = オ となる.
2012-14861-0502
(2) 曲線 C 1:y= log2⁡ x と x 軸との交点の座標は ( カ ,0 ) であり,曲線 C2:y =log4 ⁡( x+2 ) と y 軸との交点の座標は ( 0, キ ) である.また曲線 C 1 と C 2 の交点の座標は ( ク , ケ ) である.曲線 C 1 と曲線 C 2 と x 軸および y 軸で囲まれる部分の面積は コ である.
2012-14861-0503
【2】 行列 A= ( 1 35 0 3) に対して, An= ( pn qn rn sn ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
とおく.次の問いに答えよ.
(1) A2 と A 3 を求めよ.
(2) 数列 { pn} ,{ rn} ,{ sn} の一般項を推測して,その結果を数学的帰納法によって証明せよ.
(3) qn+ 1 を q n を用いて表せ.
(4) 数列 { an} の一般項を求めよ.
(5) a≠0 ,b>0 とする.数列 { an} ,{ bn} をそれぞれ, an= a⁢pn +b⁢ qn ,b n=a⁢ rn+b ⁢s n で定める.このとき u =limn →∞ ⁡ a na n2+ bn 2 , および v =limn →∞ ⁡ b na n2+ bn2 を求めよ.
2012-14861-0504
【3】 a>0 とする.座標平面において 2 つの曲線 C 1:y =ex -ea +1 および曲線 C2:x =a-log ⁡y について,次の問いに答えよ.
(1) 曲線 C 1 と C 2 の共有点の座標を求めよ.
(2) 曲線 C 1 と C 2 の概形を描け.
(3) 曲線 C 1 ,C2 および y 軸で囲まれる図形 D の面積 S を求めよ.
(4) 図形 D と領域 y≦ 0 の共通部分の面積が 1 となるときの a の値を求めよ.
2012-14861-0505
【4】 O を原点とする座標平面上に 2 点 A (a ,0) ,B (0 ,1) をとる.ただし, a>0 とする.線分 OA 上に点 P ( p,0) ( 0≦p< a) をとり,点 P から線分 AB に下ろした垂線の足を Q とする.次の問いに答えよ.
(1) 線分 PQ の長さを求めよ.
(2) ▵BPQ を線分 AB のまわりに 1 回転してできる円錐の体積を V とする. V を p を用いて表せ.
(3) 0≦p< a のとき, V の最大値を求めよ.