2013　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{メ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1$桁の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で答えよ．

(1)　大小$2$つのサイコロを投げる．大きいさいころの出た目を初項とし，小さいさいころの出た目を公差とする等差数列が得られる．この数列の初項を$a_1\text{，}$第$2$項を$a_2$のようにそれぞれ表し，一般に第$n$項を$a_n$によって表す．

(a)　第$4$項$a_4$が$3$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　第$8$項$a_8$が$3$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(c)　第$11$項$a_{11}$が$5$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(d)　第$101$項$a_{101}$が$15$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{メ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1$桁の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で答えよ．

(2)　実数$x$を変数とする関数$f_1(x)=x+1$がある．これを用いて関数$f_2(x)=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})f_1(x)$を定め，さらにこれを用いて関数$f_3(x)=(x+{\displaystyle \frac{1}{3}})f_2(x)$を定める．一般に$4$以上の自然数$n$に対しても同様に，すでに定められている関数$f_{n-1}(x)$を用いて，関数$f_n(x)=(x+{\displaystyle \frac{1}{n}})f_{n-1}(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}(nx+1)f_{n-1}(x)$を定める．

(a)　$f_3(x)=x^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{x}^2+\boxed{\text{ス}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(b)　$f_7(x)$を$x$の多項式として表したときの$x$の係数は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}}}$である．

(c)　$f_8(x)$を$x$の多項式として表したときの$x^2$の係数は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{メ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1$桁の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で答えよ．

(3)　空間内に点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{P}(1,2{\cos }^2\theta ,0)\text{，}$点$\mathrm{C}(1,0,1)$を頂点としてもつ四面体と，点$\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{Q}(-1,2{\sin }^2\theta ,0)\text{，}$点$\mathrm{D}(-1,0,1)$を頂点としてもつ四面体とがある．ただし，$\theta$は$0$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の間を動く実数である．

(a)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点の座標は$(\boxed{\text{ノ}},\boxed{\text{ハ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}})$である．

(b)　実数$\theta$が$0$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の間を動くときの，三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{BAQ}$の共通部分の面積の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$であり，三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{BAQ}$の共通部分が通過する部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(c)　実数$\theta$が$0$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の間を動くときの，$2$つの四面体の共通部分が通過する部分の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．

【２】　正の実数$t$に対して，$S(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}|\log x|dx$とする．ただし，対数は自然対数を表すものとする．以下の問に答えよ．

(1)　$t$が$t>1$の場合の$S(t)$の値を求めよ．

(2)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{\log t}}$を求めよ．

(3)　$t$が$0<t\leqq 1$の場合の$S(t)$の値を求めよ．

(4)　$S(t)$はある正の実数$c$で最小値をとる．$c$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$を$n$回かけて得られる行列を$A^n$で表す．ただし，$A^1=A$とする．自然数$n$に対し，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$b_n=a_{n-1}$であることを証明せよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

(2)　$d_n=b_{n-1}$であることを証明せよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

(3)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を$\beta ={\displaystyle \frac{\alpha +\gamma }{2}}$を満たす実数とし，$s=\beta -\alpha$とおく．このとき，定積分${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )dx$を$s$を用いて表せ．ただし，この間については答のみを解答すればよい．

(4)　関数$y=(x+a_n)(x+b_n)(x-d_n)$のグラフと$x$軸によって囲まれる部分の面積を$a_n-a_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

(5)　関数$y=(x+a_5)(x+b_5)(x-d_5)$のグラフと$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．ただし，この問については答のみを解答すればよい．