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2014-13442-1201
2014 東京理科大学 理学部B方式
数,物理,化学科
2月12日実施
(1)〜(3)で配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内のアからフにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, は 2 桁の数を表す.
(1) 1 から 8 までの番号が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがある.
(a) この 8 枚のカードから 2 枚を同時に抜き出したときの番号の和の期待値は ア である.
(b) この 8 枚のカードから 2 枚を同時に抜き出すとき, 2 つの番号の和が 8 以上である確率は イ ウ エ オ である.
(c) この 8 枚のカードから 2 枚を同時に抜き出すとき, 2 つの番号の積が 4 の倍数である確率は カ キ である.
2014-13442-1202
配点50点
(2) a ,b , c ,d , α ,β は実数とし,次の 2 つの等式が x についての恒等式となるとする.
(x +α) ⁢( x2+a ⁢x+b )= x3+c ⁢x2 +39⁢x +56
(x+ β)⁢ (x2 +a⁢x +b)= x3+ d⁢x2 +31⁢x +42
このとき,
(a) b+α ⁢a= ク ケ , b+β ⁢b= コ サ , α β= シ ス である.
(b) a= セ , b= ソ , c= タ チ , d= ツ テ である.
2014-13442-1203
(3) f⁡( x)= |cos⁡ x|- cos⁡x とする.
(a) f⁡( x)= 1 を満たす x ( x> 0 ) の値を小さい順に a1 ,a 2 ,a 3 ,⋯ とする.このとき,
a1= ト ナ ⁢ π , a2 = ナ ヌ ⁢ π , a3= ネ ノ ⁢ π
である.
(b) 定積分 ∫a1 a3 f⁡( x)⁢ sin⁡( x+a2 )⁢dx の値は ハ ヒ ⁢ フ である.
2014-13442-1204
配点25点
【2】 座標平面において,曲線 C :y=2 ⁢x-x ⁢e- x と直線 l :y=2 ⁢x がある.ただし, e は自然対数の底とする. a は a >1 を満たす実数とし,直線 x =a と曲線 C の交点を A , 直線 x =a と直線 l の交点を B とする.また,曲線 C 上の点 A における接線と直線 l の交点を P とし,点 P の x 座標を p とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線 C 上の点 A における接線の方程式を求めよ.
(2) p を a を用いて表せ.
(3) 曲線 C と直線 l および 2 直線 x =a ,x= p で囲まれた図形の面積を S ⁡(a ) とし,三角形 ABP の面積を T ⁡(a ) とする.
(a) T⁡( a) を a を用いて表せ.
(b) S⁡( a) を a を用いて表せ.
(c) 極限値 lima→ ∞ S⁡( a) T⁡( a) を求めよ.
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【3】 数列 { an }, { bn } は
・ tan⁡a n= 1n2 +n+1 ,0< an< π2
・ tan⁡b n=α ⁢n+β ( α , β は定数), - π2< bn< π 2
・ tan⁡a n=tan⁡ (b n+1 -bn )
を満たすとする( n =1 ,2 , 3 ,⋯ ).このとき,次の問いに答えよ.
(1) α と β を求めよ.
(2) b1 を求めよ.
(3) 極限値 limn→ ∞b n を求めよ.ただし,必要ならば,
π 2- x<tan⁡ ( π2- x) ( 0<x< π2 )
が成り立つことを用いてもよい.
(4) 無限級数 ∑n =1∞ an の和を求めよ.
(5) 自然数 n に対し, tan⁡( bn+ 1- bn-1 ) を n の式で表せ.ただし, b0 =0 とする.
(6) 無限級数 ∑n =1∞ ( bn+ 1- bn-1 ) の和を求めよ.ただし, b0 =0 とする.