2015　東京理科大学　理学部数理情報学科2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表すものとする．なお，同一の問題文中に$\boxed{\text{ア}}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は，$\boxed{\text{ア}}$のように網掛けで表記する．

(1)　座標平面上の円$C\text{：}{(x-2)}^2+{(y-1)}^2=5$に対して以下が成り立つ．

(a)　$C$上の点で，その点における$C$の接線の傾きが$-2$となる点は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$と$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$である．（ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．）

(b)　点$(x,y)$が$C$上を動くとき，$2x+y$の値は$(x,y)=(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$のとき最大値$\boxed{\text{キ}\text{ク}}$をとり，$(x,y)=(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$のとき最小値$\boxed{\text{サ}}$をとる．

(2)　座標平面上で点$(x,y)$が$x^2-4\left|x\right|+y^2-2\left|y\right|=0$を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の値は$(x,y)=(0,0)$のとき$0$になるが，それ以外の場合のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{シ}}\leqq x^2+y^2\leqq \boxed{\text{ス}\text{セ}}$である．

(3)　座標平面上で$x^2-4\left|x\right|+y^2-2\left|y\right|\leqq 0$を満たす点$(x,y)$全体のなす領域を$S$とする．

(a)　点$(x,y)$が上を動くとき，$x^2+y^2$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ソ}}\leqq x^2+y^2\leqq \boxed{\text{タ}\text{チ}}$である．

(b)　$S$の面積は$\boxed{\text{ツ}\text{テ}}\pi +\boxed{\text{ト}\text{ナ}}$である．

【２】　実数$a\text{，}b$に対して，$f(x)=x^2+ax+b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．

(a)　$M\text{，}m$をそれぞれ以下の場合に分けて$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅰ)　$a\leqq -2$

(ⅱ)　$-2<a<2$

(ⅲ)　$2\leqq a$

(b)　$M-m$が最小となるような$a$の値を求め，さらにそのときの$M-m$の値を求めよ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 1$における$|f(x)|$の最大値が最小となるような$a\text{，}b$の値を求め，さらにそのときの$|f(x)|$の最大値を求めよ．