2015　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20\text{，}{a}_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=\boxed{\text{ア}}$であり，$d=\boxed{\text{イ}}$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=\boxed{\text{ウ}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$2$曲線$y=4^x\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$y=8^x\text{（}x\geqq 0\text{）}$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$\boxed{\text{エ}}$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\boxed{\text{オ}}$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　双曲線

$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{9}}-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$

上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{3}{\cos \theta }},2\tan \theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における接線$l$の方程式は$\boxed{\text{キ}}$であり，法線$m$の方程式は$\boxed{\text{ク}}$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,Y)$とすると，$X$の範囲は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$Y$の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$n$を正整数とし，$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を定数として，次の関数$f(x)\text{（}x>0\text{）}$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

$f(x)=x^{n+1}\{a\cos (\pi \log x)+b\sin (\pi \log x)\}$

(2)　次の定積分の値をそれぞれ求めよ．

$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{x}^n\cos (\pi \log x)dx\text{，}{J}_n={\displaystyle {\int }_1^e}{x}^n\sin (\pi \log x)dx$

(3)　次の極限値をそれぞれ求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_{n+1}}{I_n}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{J_{n+1}}{J_n}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{J_n}{I_n}}$

【３】　座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(2,1,5)\text{，}\mathrm{C}(2,3,-1)\text{，}\mathrm{P}(2\cos \theta ,\sin \theta ,0)$を考える．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．

(5)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{a_n}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$として，次の問いに答えよ．

(1)　閉区間$4\leqq x\leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^{\prime }(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

(2)　$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．

(4)　上の(3)で決定した$c$に対して，$0<c-a_{n+1}<{\displaystyle \frac{c-a_n}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(5)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．