2015　同志社大学　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施MathJax

2015-14861-0601

2015　同志社大学　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施

易□　並□　難□

【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いたの中に記入せよ．

　 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 1 ， a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ で定義される数列 ${a_{n}}$ について考える．この漸化式は $2$ つの定数 $α = ア， β = イ（ α > β ）$ を用いて， $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ と表すことができる．

　数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = a_{n + 1} - α a_{n}$ と定めると，数列 ${b_{n}}$ は初項 $ウ，$ 公比 $エ$ の等比数列となり，数列 ${a_{}}$ の一般項を $α ， β ， n$ を用いて表すと $オ$ となる．

　また， $p$ が $2$ より大きい整数の場合， $1 + \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{p}$ となるのは， $p = n + カ$ のときであり， $a_{n}$ が初めて $2015$ より大きくなるのは $n = キ$ のときである．

　 $n$ が $3$ より大きい正の奇数の場合， $n = 2 j + 1$ と表すと， $a_{n} - \sum_{k = 1}^{j} a_{2 k} = ク$ であり， $n$ が $4$ より大きい正の偶数の場合， $n = 2 j$ と表すと， $a_{n} - \sum_{k = 2}^{j} a_{2 k - 1} = ケ$ である．

　また， $n > 1$ の場合， $a_{n + 1} a_{n - 1} - {a_{n}}^{2} = コ$ である．

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2015　同志社大学　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施

易□　並□　難□

【２】　 $a$ を実数とする． $f (x) = x^{2} - (1 + a) x + a$ とし， $I (a) = \int_{0}^{1} | f (x) | d x$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $a < 0$ のとき $I (a)$ を $a$ を用いて表せ．

(2)　 $0 ≦ a ≦ 1$ のとき $I (a)$ を $a$ を用いて表せ．

(3)　 $a > 0$ のとき $I (a)$ を $a$ を用いて表せ．

(4)　 $0 ≦ a ≦ 1$ のとき $I (a)$ の最大値と最小値を求めよ．

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2015　同志社大学　法・グローバルコミュニケーション学部2月8日実施

易□　並□　難□

【３】　鋭角三角形 $▵ OAB$ において $\vec{OA} = \vec{a} ， \vec{OB} = \vec{b}$ とする．また，直線 $OA$ 上に点 $C$ をとり， $\vec{OC} = k \vec{a} （ k > 1 ）$ とし，線分 $AC$ 上に点 $P$ をとり， $\vec{OP} = p \vec{a} （ 1 < p < k ）$ とする．さらに点 $P$ を通り，直線 $BC$ に平行な直線が直線 $OB$ と交わる点を点 $Q$ とする．また，点 $P$ を通り，直線 $AB$ に平行な直線が直線 $OB$ と交わる点を点 $R$ とする．直線 $PQ$ と直線 $AB$ の交点を点 $D$ とし，直線 $PR$ と直線 $BC$ の交点を点 $E$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{AQ}$ と $\vec{CR}$ を $k ， p ， \vec{a} ， \vec{b}$ を用いてそれぞれ表せ．

(2)　 $\vec{OD}$ と $\vec{OE}$ を $k ， p ， \vec{a} ， \vec{b}$ を用いてそれぞれ表せ．

(3)　 $▵ OAB$ の面積 $S$ を $\vec{a} ， \vec{b}$ を用いて表せ．

(4)　 $▵ BDE$ の面積 $T$ を(3)で求めた $S$ と $k ， p$ を用いて表せ．点 $P$ が線分 $AC$ 上を動くときの面積 $T$ の最大値と，そのときの $p$ を求めよ．

(5)　直線 $DE$ が点 $O$ を通るときの $p$ を $k$ を用いて表せ．