2016　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　図の四角形$\mathrm{OACB}$は，$\mathrm{OA}⫽\mathrm{BC}$である台形である．辺$\mathrm{BC}$の長さは辺$\mathrm{OA}$の長さの${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．辺$\mathrm{OA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．このとき，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{G}$で，$\mathrm{DE}⫽\mathrm{FG}\text{，}\mathrm{DE}=\mathrm{PG}$をみたすものが存在する．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DE}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{b}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$である．

(4)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{BC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノハ}}}}$である．

【２】(1)　$3$枚のカードに$1$から$3$までの数字が$1$枚に$1$つずつ書かれている．この中から$2$枚のカードを抜き取るとき，大きい方の数字を$X\text{，}$小さい方の数字を$Y$とする．$X=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}X=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．また，$Y=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}Y=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

(2)　$6$枚のカードに$1$から$6$までの数字が$1$枚に$1$つずつ書かれている．この中から$2$枚のカードを抜き取るとき，大きい方の数字を$X\text{，}$小さい方の数字を$Y$とする．$X=5$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}\text{，}X=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．$X=4$となる確率と$Y=\boxed{\text{セ}}$となる確率とは等しい．

(3)　$n$を$6$より大きい自然数とする．$n$枚のカードに$1$から$n$までの数字が$1$枚に$1$つずつ書かれている．この中から$2$枚のカードを抜き取るとき，大きい方の数字を$X\text{，}$小さい方の数字を$Y$とする．$X\geqq 7$となる確率は${\displaystyle \frac{(n-\boxed{\text{ソ}})(n-\boxed{\text{タ}})}{n(n-\boxed{\text{チ}})}}$である．

【３】　複素数$z$が等式$z\bar{z}+(-3+4i)z-(3+4i)\bar{z}-50=0$を満たすとする．ここで，$i$は虚数単位，$\bar{z}$は$z$の共役複素数である．

(1)　複素数平面上で，等式を満たす点$z$の全体の集合は中心が$\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}i\text{，}$半径が$\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$の円を表す．

(2)　等式を満たす$z$について，絶対値$\left|z\right|$の最大値は$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}+\boxed{\text{キ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$となる．

(3)　(2)で$\left|z\right|$の最大値を与える$z$を$\alpha \text{，}$最小値を与える$z$を$\beta$とする．$\gamma ={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$によって$\gamma$を定めるとき，$\gamma$の絶対値$\left|\gamma \right|$は$\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\text{，}$偏角$\arg \gamma$は$\boxed{\text{ス}}$である．ただし$\boxed{\text{ス}}$については，当てはまるものを，次の$\text{⓪}\text{〜}\text{⑨}$の中から選べ．

(4)　複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を(3)で定めたものとし，複素数平面上で$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とすると，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{セソ}}+\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$となる．

【４】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とおく．半径${\displaystyle \frac{1}{3}}$の円$C_2$が円$C_1$に外接しながら反時計回りにすべることなく回転する．円$C_2$の中心${\mathrm{O}}^{\prime }$は時刻$0$において点$({\displaystyle \frac{4}{3}},0)$の位置にあり，一定の速さで原点$\mathrm{O}$の周りを$1$周し，時刻$2\pi$のとき点$({\displaystyle \frac{4}{3}},0)$へ戻る．円$C_2$上の定点$\mathrm{P}$は，時刻$0$において点$(1,0)$の位置にあり，$C_2$の回転にともなって移動する（図１，図２，図３）．

(1)　時刻${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$における点${\mathrm{O}}^{\prime }$の位置は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}})$である．また，時刻${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$における点$\mathrm{P}$の位置は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}})$である（図３）．

(2)　時刻$t$における点${\mathrm{O}}^{\prime }$の位置は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\cos t,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sin t)$である．また，$t$における点$\mathrm{P}$の位置は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\cos t-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\cos (\boxed{\text{ソ}}t),{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sin t-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sin (\boxed{\text{ツ}}t))$

である．

(3)　点$\mathrm{P}$が点$(1,0)$から動き始めて，円$C_1$上の点に初めて達するのは，時刻が$T={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\pi$のときである．

(4)　時刻$0$から(3)で求めた時刻$T$までの点$\mathrm{P}$の道のりは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$となる．

【５】　関数$f(x)$を

$f(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x}{e}}}-\log x\text{（}x>0\text{）}$

と定め、関数$f(x)$と座標平面上の曲線$y=f(x)$を考える．ただし，$e$は自然対数の底，$\log$は自然対数を表すとする．以下の設問に答えよ．

(1)　$f(e)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$は最小値をもつ．その最小値とそれを与える$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$(9e,f(9e))$における接線の傾きを求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$上の点に，点$(9e,f(9e))$における接線と同じ傾きの接線をもつ点がもう一つある．その点の$x$座標を求めよ．

(5)　曲線$y=f(x)$と直線$x={\displaystyle \frac{e}{9}}\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(6)　自然数$n$に対し，曲線$y=f(x)$と直線$x={\displaystyle \frac{e}{n}}\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とおく．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．ここで必要ならば，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$を証明なしに使ってよい．