2016　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{チ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．

　$0$から$3$までの整数を表す数字の集合$\mathrm{S}=\{0,1,2,3\}$の$3$つの部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が$0\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}$をみたすように与えられているとする．これらの集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を使って，各$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数字が$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$のいずれかであるような整数に関する以下の$3$つの条件(P)を定める．

(P)$\{\begin{array}{l}\text{・少なくとも}2\text{つの桁をもち，最上位の桁の数字は}1\text{である．}\\ \text{・もし，}1\text{の}\stackrel{\text{くらい}}{\text{位}}\text{の桁以外のある桁の数字が}0\text{であれば，}\\ \text{その桁の右側にあるすべての桁の数字も}0\text{である．}\\ \text{・}1\text{の位以外の桁の数字が}1\text{であればその右隣の桁の数字は}\\ \text{集合}\mathrm{A}\text{に属し，}2\text{であればその右隣の桁の数字は集合}\mathrm{B}\text{に属し，}\\ 3\text{であればその右隣の桁の数字は集合}\mathrm{C}\text{に属する．}\end{array}$

　例えば，$\mathrm{S}$の$3$つの部分集合として$\mathrm{A}=\{0,2\}\text{，}\mathrm{B}=\{0,3\}\text{，}C=\{0,1\}$が与えられている場合，整数$12300$については，最上位の桁の数字は$1$であり，その右隣の桁の数字は$2$であり，さらにそれ以下の桁の数字は左から順に$3\text{，}0\text{，}0$であるため，$12300$は(P)の$3$つの条件をすべてみたす$5$桁の整数である．整数$12312$も(P)の$3$つの条件をすべてみたす$5$桁の整数である．

(1)　$\mathrm{A}=\{0,1,3\}\text{，}\mathrm{B}=\{0,1\}\text{，}\mathrm{C}=\{0,3\}$であるとき，(P)の$3$つの条件をすべてみたす$n$桁の整数のうち，$1$の位の数字が$0$でないものの個数を$a_n$とすると，$a_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{イ}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{a}_5=\boxed{\text{エ}}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=2}^{28}}{a}_n=\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}$である．

(2)　$\mathrm{A}=\{0,1,2\}\text{，}\mathrm{B}=\{0\}\text{，}\mathrm{C}=\{0,1\}$であるとき，(P)の$3$つの条件をすべてみたす$n$桁の整数のうち，$1$の位の数字が$0$でないものの個数を$b_n$とすると，$b_3=\boxed{\text{ク}}\text{，}{b}_4=\boxed{\text{ケ}}\text{，}{b}_5=\boxed{\text{コ}}$である．

(3)　$\mathrm{A}=\{0,2,3\}\text{，}\mathrm{B}=\{0,1\}\text{，}\mathrm{C}=\{0,1\}$であるとき，(P)の$3$つの条件をすべてみたす$n$桁の整数のうち，$1$の位の数字が$0$でないものの個数を$c_n$とすると，$c_4=\boxed{\text{サ}}\text{，}{c}_5=\boxed{\text{シ}}$である．また，$c_n>2016$をみたす$2$以上の自然数$n$のうち最小のものは$\boxed{\text{ス}\text{セ}}$である．

(4)　(P)の$3$つの条件をすべてみたす$2$桁の整数が$10$だけになるように$\mathrm{S}$の$3$つの部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を与える方法は，全部で$\boxed{\text{ソ}\text{タ}}$通りある．

(5)　(P)の$3$つの条件をすべてみたす$3$桁の整数が$100\text{，}120\text{，}130$の$3$つだけになるように$\mathrm{S}$の$3$つの部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を与える方法は，全部で$\boxed{\text{チ}}$通りある．

【２】　$i$を虚数単位とする．各自然数$n$に対し，方程式$z^n=64i$の解のうち，実部の値が最大であるものを$A_n$とし，実部の値が最小であるものを$B_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$A_3\text{，}{B}_3$を求めよ．

(2)　$A_4\text{，}{B}_4$を求めよ．

(3)　各自然数$n$に対し，方程式$z^n=64i$の解のうち虚部が正であるような解の個数を$L_n$とする．$L_n$を求めよ．

(4)　各自然数$m$に対し，${A_{2m+1}}^4-{B_{2m+1}}^4$の虚部を${\alpha }_m$とし，${A_{2m+1}}^3-{B_{2m+1}}^3$の実部を${\beta }_n$とする．極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{m{\alpha }_m}{{\beta }_m}}$を求めよ．

(5)　自然数$l$に対し，方程式$z^{2l}=64i$の解のうち虚部が正であるような$L_{2l}$個の解を偏角が小さい順に並べたとき，$k$番目の解を$z_k$とする．ただし，偏角は$0$以上$2\pi$未満の範囲で考えるものとする．

(a)　$z_k$の偏角${\theta }_k$を$k$と$l$によって表せ．

(b)　$z_k$の虚部を${\gamma }_k$とする．このとき$\underset{l\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{L_{2l}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{L_{2l}}}{\gamma }_k$を求めよ．