2016　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$0<\theta <\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．${\displaystyle \frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }}$と${\displaystyle \frac{\sin 5\theta }{\sin \theta }}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$となる．$\sin 5\theta =0$となる$\theta$のうち，$0<\theta <\pi$において最小のものの値は$\boxed{\text{ウ}}$である．したがって，$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$とおく．並べ方は全部で$\boxed{\text{オ}}$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_5$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$\boxed{\text{カ}}$通りである．また，$a_1\ne 1$かつ$a_2\ne 2$となる並べ方は$\boxed{\text{キ}}$通りである．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=\boxed{\text{ク}}$のとき最小値$\boxed{\text{ケ}}$をとる．また直線$l$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　平面上の$▵\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x\text{，}\mathrm{OB}=y\text{，}\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x\text{，}y\text{，}\overrightarrow{v}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x\text{，}y\text{，}\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．

(4)　$2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x\text{，}y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x\text{，}y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が漸化式

$a_1=a\text{，}{\log }_2{a}_{n+1}=-|{\log }_2{a}_n|+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 1$のとき，${\log }_{2}y=-|{\log }_{2}x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．

(2)　座標平面上で，方程式${\log }_{2}y=-|{\log }_{2}x|+2\text{（}x>0\text{）}$の表す図形を描け．

(3)　$x>0$において，方程式${\log }_{2}x=-|{\log }_{2}x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．

(4)　$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．

(5)　$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．