2016　同志社大　政策・文化情報・スポーツ健康科学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　変量$x$の$29$個のデータを$x_i=ai$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$29\text{）}$とするとき，$x$のデータの平均値$\bar{x}$は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$標準偏差$s_x$は$\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$a$は正の定数とする．変量$z$のデータ$z_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$29\text{）}$を$z_i={\displaystyle \frac{x_i-\bar{x}}{s_x}}$とすると，$z$のデータの平均値$\bar{z}$は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$標準偏差$s_z$は$\boxed{\text{エ}}$である．このとき${\displaystyle \sum _{i=1}^{29}}{z_i}^3$は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$f(x)=x^2-4x+3$とする．放物線$C\text{：}y=f(x)$と直線$l\text{：}y=x+k$とが異なる$2$点$\mathrm{P}(p,f(p))$と$\mathrm{Q}(q,f(q))$で交わるための$k$の満たすべき条件は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，$p<q$とする．この$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線をそれぞれ$m_1\text{，}$$m_2$とする．さらに，$2$直線$m_1\text{，}$$m_2$が垂直とすると，$k=\boxed{\text{キ}}$であり，また$p=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ケ}}$となる．このとき，放物線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積の値を求めると$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$p$を実数とし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$a<b<c$を満たす定数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-7x^2+p=0$が相異なる$3$つの実数解$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をもつ．$g_n=a^n+b^n+c^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g_1\text{，}$$g_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　$g_3\text{，}$$g_4$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　この$3$次方程式が相異なる$3$つの実数解をもつための$p$の満たすべき条件を求めよ．

(4)　$g_4=1393$のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に，原点以外の相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．$a\text{，}$$b$を正の定数とし，点$\mathrm{P}$は$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は互いに垂直であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$とする．また，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$はそれぞれ線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の中点である．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$および$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$および$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{DF}$の中点となるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{DF}$の中点となり，直線$\mathrm{OP}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に垂直であるとき，$\mathrm{▵DEF}$の面積を求めよ．