2016　同志社大　神・心理・商・地域文化学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　関数$f(x)$が$f(x)=x^3-x^2{\displaystyle {\int }_{-2}^2}{\displaystyle \frac{3}{2}}f(t)dt+x+{\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{8}{9}}f(t)dt$を満たすとき${\displaystyle {\int }_{-2}^2}f(t)dt=\boxed{\text{ア}}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^3}f(t)dt=\boxed{\text{イ}}$であり，$x$の$3$次方程式$f(x)=0$の解は$\boxed{\text{ウ}}$である．また${\displaystyle {\int }_1^3}|f(t)|dt=\boxed{\text{エ}}$となる．

　$y=f(x)$の極大値$M$は$M=\boxed{\text{オ}}$である．$y=f(x)$のグラフと直線$y=M$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．また，点$(0,f(0))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式は$y=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$s$を実数の定数とする．方程式${\log }_4(4x-x^2)={\log }_2(x-s)+1$は，$s=0$のとき解$x=\boxed{\text{ク}}$をもち，$s=1$のとき解$x=\boxed{\text{ケ}}$をもつ．この方程式が解をもつような$s$の値の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　長方形$R$の縦の長さを$x\text{，}$横の長さを$y$とする．$x+y=2$であるとき，長方形$R$の面積を最大にする$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(2)　直方体$C$の縦の長さを$x\text{，}$横の長さを$y\text{，}$高さを$z$とする．$3$辺の和について$x+y+z=12$であり，かつ表面積について$2(xy+yz+zx)=72$であるような直方体$C$が存在するための$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　直方体$C$の縦の長さを$x\text{，}$横の長さを$y\text{，}$高さを$z$とする．$3$辺の和について$x+y+z=12$であり，かつ表面積について$2(xy+yz+zx)=72$であるとき，直方体$C$の体積を最大にする$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　$p$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<p<1$を満たす定数とする．$\mathrm{▵OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，線分$\mathrm{OB}$の中点を点$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$p:1-p$に内分する点を点$\mathrm{P}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AC}$に平行な直線が直線$\mathrm{AB}$と交わる点を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$から直線$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AC}$との交点を点$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$p$を用いて表せ．

(2)　四角形$\mathrm{OAQC}$の面積を$T$とする．$T$を$p$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{AC}$上（ただし，両端を除く）にあるための$p$の値の範囲を求めよ．

(4)　$p$が(3)で求めた範囲にあるときの$\mathrm{▵CQR}$の面積を$U$とする．$U$を$p$を用いて表せ．

(5)　$p$が(3)で求めた範囲にあるときの$\mathrm{▵CQR}$の面積$U$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．